Khinchin-Kolmogorov sætning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 1. januar 2020; checks kræver 2 redigeringer .

Khinchin-Kolmogorov-sætningen (også kendt som Wiener-Khinchin-sætningen og nogle gange som Wiener-Khinchin-Einstein-sætningen ) siger, at effektspektraltætheden af en stort set stationær tilfældig proces er Fourier-transformationen af den tilsvarende autokorrelationsfunktion . [1] [2] [3]

Kontinuerlig sag:

S_{xx}(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }r_{xx}(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau ,

hvor

r_{xx}(\tau )=\mathrm {E} {\big [}x(t)x^{*}(t-\tau ){\big ]},

er autokorrelationsfunktionen defineret ud fra den matematiske forventning , og hvor er funktionens effektspektraltæthed . Bemærk, at autokorrelationsfunktionen er defineret i forhold til den matematiske forventning af produktet, og at Fourier-transformationen af ikke eksisterer i det generelle tilfælde, da stationære tilfældige funktioner ikke er integrerbare i kvadratisk. $S_{xx}(f)$ $x(t)$ $x(t)$

Stjernen betyder kompleks konjugation, den kan udelades, hvis den tilfældige proces er reel.

Diskret tilfælde:

S_{xx}(f)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }r_{xx}[k]e^{-j2\pi kf},

hvor

r_{xx}[k]=\mathrm {E} {\big [}x[n]x^{*}[nk]{\big ]}

og hvor

S_{xx}(f)

er den spektrale effekttæthed med diskrete værdier . Da spektraltætheden er ordnet i diskrete tidsprøver, er den en periodisk funktion i frekvensdomænet. $x[n]$

Ansøgning

Sætningen er praktisk til analyse af lineære stationære systemer , hvor input- og outputværdierne ikke er kvadraturintegrerbare, på grund af hvilke Fourier-transformationer ikke eksisterer. Som en konsekvens heraf er Fourier-transformationen af autokorrelationsfunktionen af udgangssignalet fra LSS-systemet lig med produktet af Fourier-transformationen af autokorrelationsfunktionen af systemets inputsignal og kvadratet af modulet af Fourier-transformationen af dens impulsrespons . Dette er sandt, selv når der ikke er nogen Fourier-transformationer af input- og outputsignalerne, fordi de ikke er integrerbare. Derfor kan input- og outputparametrene ikke relateres direkte af Fourier-transformationen af impulsoverførselsfunktionen.

Af det faktum, at Fourier-transformationen af et signals autokorrelationsfunktion er signalets effektspektrum, følger det, at udgangssignalets effektspektrum er lig med produktet af inputtets effektspektrum og overførselsfunktionen af system.

Denne konsekvens bruges til at finde effektspektret ved den parametriske metode.

Definition inkonsistens

I definitioner, der involverer uendelige integraler for spektral tæthed og autokorrelation , er Khinchin-Kolmogorov-sætningen simpelthen et par Fourier-transformationer, der let kan bevises for enhver integrerbar funktion, det vil sige, for hvilken Fourier-transformationer eksisterer. Mere bekvemt, og historisk set, for stationære signaler, for hvilke der ikke er nogen Fourier-transformationer, anvendes sætningen ved at bruge definitionen af autokorrelationsfunktionen i form af den matematiske forventning, og ikke i form af det uendelige integral. En forenkling af Khinchin-Kolmogorov-sætningen er almindelig i moderne teknisk litteratur og skjuler bidragene fra A. Ya. Khinchin , Norbert Wiener og A.N. Kolmogorov .

Noter

↑ Dennis Ward Ricker. Ekkosignalbehandling (neopr.) . - Springer, 2003. - ISBN 140207395X . Arkiveret 19. september 2014 på Wayback Machine
↑ Leon W. Couch II digitale og analoge kommunikationssystemer . — 6 udg. - Prentice Hall, New Jersey, 2001. - S. 406-409.
↑ Krzysztof Iniewski. Trådløse teknologier : Kredsløb, systemer og enheder . - CRC Press , 2007. - ISBN 0849379962 . Arkiveret 29. juni 2014 på Wayback Machine