Spektral tæthed

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 26. juni 2016; checks kræver 3 redigeringer .

I statistisk radioteknik og fysik, når man studerer deterministiske signaler og tilfældige processer , er deres spektrale repræsentation i form af spektral tæthed, som er baseret på Fourier-transformationen , meget brugt .

Hvis processen har en endelig energi og er kvadratisk integrerbar (og dette er en ikke-stationær proces), så for en implementering af processen kan Fourier-transformationen defineres som en tilfældig kompleks funktion af frekvens: $x(t)$

X(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-i2\pi ft}dt.

(en)

Det viser sig dog næsten at være ubrugeligt til at beskrive ensemblet. Vejen ud af denne situation er at kassere nogle parametre i spektret, nemlig spektret af faser, og konstruere en funktion, der karakteriserer fordelingen af processens energi langs frekvensaksen. Derefter, ifølge Parsevals sætning , energien

E_{x}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty } |X(f)|^{2}df.

(2)

Funktionen karakteriserer således fordelingen af realiseringsenergi langs frekvensaksen og kaldes realiseringens spektrale tæthed. Ved at tage et gennemsnit af denne funktion over alle realiseringer kan man opnå spektraltætheden af processen. ${\displaystyle S_{x}(f)=|X(f)|^{2))$

Lad os nu vende os til en stort set stationær centreret stokastisk proces , hvis realiseringer har uendelig energi med sandsynlighed 1 og derfor ikke har en Fourier-transformation. Effektspektraltætheden af en sådan proces kan findes baseret på Wiener-Khinchin-sætningen som Fourier-transformationen af korrelationsfunktionen: $x(t)$

S_{x}(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }k_{x}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau .

(3)

Hvis der er en direkte transformation, så er der også en invers Fourier-transformation , som bestemmer ud fra den kendte : $S_{x}(f)$ $k_{x}(\tau )$

k_{x}(\tau )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }S_{x}(f)e^{i2\pi f\tau }df.

(fire)

Hvis vi antager i henholdsvis formlerne (3) og (4) og , har vi $f=0$ $\tau=0$

S_{x}(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }k_{x}(\tau )d\tau ,

(5)

\sigma _{x}^{2}=k_{x}(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }S_{x}(f)df.

(6)

Formel (6), under hensyntagen til (2), viser, at dispersionen bestemmer den totale energi af en stationær tilfældig proces, som er lig med arealet under spektraltæthedskurven. Den dimensionelle værdi kan fortolkes som den brøkdel af energi, der er koncentreret i et lille frekvensområde fra til . Hvis vi forstår ved tilfældig (fluktuation) strøm eller spænding, så vil værdien have dimensionen energi [V 2 / Hz] = [V 2 s]. Derfor kaldes det nogle gange energispektret . I litteraturen kan du ofte finde en anden fortolkning: - betragtes som den gennemsnitlige effekt, der frigives af strømmen eller spændingen ved en modstand på 1 ohm. I dette tilfælde kaldes værdien effektspektret af en tilfældig proces. $S_{x}(f)df$ $f-df/2$ $f+df/2$ $x(t)$ $S_{x}(f)$ $S_{x}(f)$ $\sigma _{x}^{2}$ $S_{x}(f)$

Spektral tæthed egenskaber

Energispektret for en stationær proces (virkelig eller kompleks) er en ikke-negativ værdi:

S_{x}(f)\geq 0

(7)

Energispektret af en rigtig stationær i bred forstand af en tilfældig proces er en reel og jævn funktion af frekvens:

S_{x}(-f)=S_{x}(f)

(otte)

Korrelationsfunktionen og energispektret af en stort set stationær tilfældig proces har alle de egenskaber, der er karakteristiske for et par indbyrdes Fourier-transformationer . Især jo "bredere" spektret er, jo "snævrere" er korrelationsfunktionen og omvendt. Dette resultat kvantificeres som et usikkerhedsprincip eller -relation. $k_{x}(\tau )$ $S_{x}(f)$ $S_{x}(f)$ $k_{x}(\tau )$

Se også

Litteratur

Zyuko, A. G. , Klovsky, D. D. , Nazarov, M. V. , Fink, L. M. Teori om signaltransmission. - M . : Kommunikation, 1980. - 288 s.
Tikhonov, V. I. , Kharisov, V. N. Statistisk analyse og syntese af radiotekniske enheder og systemer. - M . : Radio og kommunikation, 2004. - 608 s. - ISBN 5-256-01701-2 .
Tikhonov, V. I. , Bakaev, Yu. N. Statistisk teori om radiotekniske enheder. - M . : VVIA im. prof. N. E. Zhukovsky , 1978. - 420 s.