Fermat-Eulers sætning

Fermat-Eulers sætning (andre navne er Fermats julesætning , sætningen om repræsentationen af primtal som en sum af to kvadrater ) lyder [1] :

Ethvert primtal , hvor er et naturligt tal , kan repræsenteres som summen af kvadraterne af to naturlige tal. $p=4n+1$ $n$

Med andre ord,

p\in \mathbb {P} ,p=4n+1,n\in \mathbb {N} \Rightarrow p=x^{2}+y^{2},

hvor er et primtal. $s$

I udenlandsk litteratur kaldes denne udtalelse ofte for Fermats julesætning , som det blev kendt fra et brev sendt af Pierre Fermat den 25. december 1640.

Eksempler:

5=1^{2}+2^{2}

, , , , . _

13=2^{2}+3^{2}

17=1^{2}+4^{2}

29=2^{2}+5^{2}

37=1^{2}+6^{2}

41=4^{2}+5^{2}

Ud fra denne erklæring udledes en generel erklæring ved at bruge Brahmagupta-identiteten :

Et naturligt tal kan repræsenteres som en sum af to kvadrater (heltal), hvis og kun hvis intet primtal af formen er inkluderet i dens nedbrydning til primfaktorer i en ulige grad. $4k+3$

Nogle gange er det dette faktum, der menes med Fermat-Eulers sætning.

Historie

Denne udtalelse blev først opdaget af Albert Girard i 1632 . Pierre Fermat meddelte i sit brev til Mersenne ( 1640 ), at han havde bevist denne teorem, men fremlagde ikke et bevis. 20 år senere, i et brev til Karkavy (dateret august 1659), antyder Fermat, at beviset er baseret på metoden med uendelig afstamning .

Det første offentliggjorte bevis ved den uendelige afstamningsmetode blev fundet mellem 1742 og 1747 af Leonhard Euler . Senere beviser baseret på andre ideer blev givet af Joseph Lagrange , Carl Gauss , Hermann Minkowski , Jakobstahl og Don Zagier . Den sidste er et bevis på én sætning [2] .

Beviser

Et af de korteste beviser blev opfundet af den tyske matematiker Don Zagir [3] :

Finite sæt involution defineret som ${\displaystyle S=\{(x,y,z)\in \mathbb {N} ^{3}:x^{2}+4yz=p\))$

$(x,y,z)\rightarrow {\begin{cases}(x+2z,z,yxz),&x<yz\\(2y-x,y,x-y+z),&y-z <x<2y\\(x-2y,x-y+z,y),&x>2y\end{cases}}}$

har præcis ét fikspunkt (som er lig med if , og hvis unikhed følger af enkeltheden af ), så det indeholder et ulige antal elementer, hvilket betyder at involutionen også har et fikspunkt. $(1,1,k)$ $p=4k+1$ $s$ $S$ $(x,y,z)\rightarrow (x,z,y)$

Der er også et bevis via Wilsons teorem , opfundet af Axel Thue [4] .

Litteratur

Bukhshtab A. A. Talteori. - M .: Statens pædagogiske og pædagogiske forlag under RSFSR 's undervisningsministerium , 1960. - 375 s.
Senderov V., Spivak A. Summer af kvadrater og Gaussiske heltal // Kvant, nr. 3 (1999), s. 14—22.
Dickson LE History of theory of Numbers // Vol. II. — Ch. VI. Summen af to kvadrater.

Noter

↑ Senderov V., Spivak A. Summer af kvadrater og Gaussiske heltal Arkiveret 26. november 2019 på Wayback Machine // Kvant Arkiveret 11. februar 2014 på Wayback Machine . - nr. 3 (1999), s. 14-22.
↑ Et bevis på én sætning på, at hver prime 4k+1 er en sum af to kvadrater
↑ Resumé af Don Zagiers bevis . Hentet 13. maj 2011. Arkiveret fra originalen 4. marts 2016. (ubestemt)
↑ Fermats to sætninger . Hentet 17. februar 2020. Arkiveret fra originalen 26. juni 2019. (ubestemt)