Pointings sætning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. marts 2018; verifikation kræver 1 redigering .

Poyntings sætning er en sætning, der beskriver loven om bevarelse af energi i et elektromagnetisk felt . Sætningen blev bevist i 1884 af John Henry Poynting . Det hele bunder i følgende formel:

{\frac {\partial u}{\partial t))+\nabla \cdot \mathbf {S} =-\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ,

hvor er energitætheden : ; $u$ $u={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {\mathbf {B} ^{2}}{\ mu _{0}}}\right)$

\varepsilon_{0}

- elektrisk konstant - magnetisk konstant ;

\mu_{0}

\nabla

— nabla operatør ; S er Poynting-vektoren ; J er strømtætheden og E er den elektriske feltstyrke .

Pointings sætning i integralform :

{\frac {\partial }{\partial t))\int _{V}u\ dV+\oint _({\partial V)){\mathbf {S))\ d{\mathbf {A))=- \int _{V}{\mathbf {J}}\cdot {\mathbf {E}}\ dV

hvor er overfladen, der afgrænser volumenet . $\delvis V$ $V$

I den tekniske litteratur er sætningen normalt skrevet som følger ( - energitætheder): $u$

\nabla \cdot {\mathbf {S}}+\varepsilon _{0}{\mathbf {E}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}+{\ frac {{\mathbf {B}}}{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}+{\mathbf {J}}\ cdot {\mathbf {E}}=0

hvor er energitætheden af det elektriske felt, er energitætheden af det magnetiske felt og er styrken af Joule-tab pr. volumenenhed. $\varepsilon _{0}{\mathbf {E}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}$ ${\frac {{\mathbf {B}}}{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}$ ${\mathbf {J}}\cdot {\mathbf {E}}$

Konklusion

Sætningen kan udledes ved hjælp af to Maxwell-ligninger (for nemheds skyld antager vi, at mediet er et vakuum (μ=1, ε=1); for det generelle tilfælde med et vilkårligt medium er det nødvendigt at tilskrive ε og μ til hver ε 0 og μ 0 i formlerne) :

\nabla \times {\mathbf {E}}=-{\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}.

Hvis vi multiplicerer begge sider af ligningen med , får vi: $\mathbf {B}$

{\mathbf {B}}\cdot (\nabla \times {\mathbf {E}})=-{\mathbf {B}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}.

Overvej først Maxwell-Ampere-ligningen:

\nabla \times {\mathbf {B}}=\mu _{0}{\mathbf {J}}+\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial {\mathbf {E} }}{\partial t}}.

Hvis vi multiplicerer begge sider af ligningen med , får vi: $\mathbf {E}$

{\mathbf {E}}\cdot (\nabla \times {\mathbf {B}})={\mathbf {E}}\cdot \mu _{0}{\mathbf {J}}+{\mathbf { E}}\cdot \varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}.

Trækker vi den første fra den anden, får vi:

{\mathbf {E}}\cdot (\nabla \times {\mathbf {B}})-{\mathbf {B}}\cdot (\nabla \times {\mathbf {E}})=\mu _{ 0}{\mathbf {E}}\cdot {\mathbf {J}}+\varepsilon _{0}\mu _{0}{\mathbf {E}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf { E}}}{\partial t}}+{\mathbf {B}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}.

Langt om længe:

-\nabla \cdot \ (\mathbf {E} \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\varepsilon _{0}\ mu _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t))+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} } {\partial t)).

Da Poynting-vektoren er defineret som: $\mathbf {S}$

{\mathbf {S}}={\frac {1}{\mu _{0}}}{\mathbf {E}}\ gange {\mathbf {B}}

dette svarer til:

\nabla \cdot {\mathbf {S}}+\varepsilon _{0}{\mathbf {E}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {E}}}{\partial t}}+{\ frac {{\mathbf {B}}}{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}+{\mathbf {J}}\ cdot {\mathbf {E}}=0.

Generalisering

Den mekaniske energi af ovenstående sætning

{\frac {\partial }{\partial t))u_{m}({\mathbf {r)),t)+\nabla \cdot {\mathbf {S))_{m}({\mathbf {r ) )),t)={\mathbf {J}}({\mathbf {r}},t)\cdot {\mathbf {E}}({\mathbf {r}},t),

hvor u_m er den kinetiske energi af tætheden i systemet. Det kan beskrives som summen af den kinetiske energi af partikler α

u_{m}({\mathbf {r}},t)=\sum _({\alpha }}{\frac {m_{{\alpha }}}{2}}{\dot {r}}_{ {\alpha }}^{2}\delta ({\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{{\alpha }}(t)),

${\mathbf {S_{m))}$ - energiflow eller "mekanisk Poynting-vektor":

{\mathbf {S}}_{m}({\mathbf {r}},t)=\sum _({\alpha }}{\frac {m_{{\alpha }}}{2}}{\ prik {r}}_{{\alpha }}^{2}{\dot {{\mathbf {r}}}}_{{\alpha }}\delta ({\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{{\alpha }}(t)).

Energikontinuitetsligning eller energibevarelseslov

{\frac {\partial }{\partial t}}\left(u_{e}+u_{m}\right)+\nabla \cdot \left({\mathbf {S}}_{e}+{\ mathbf {S}}_{m}\right)=0,

Alternative former

Andre former for Poyntings sætning kan fås. I stedet for at bruge fluxvektoren kan man vælge Abraham - formen, Minkowski-formen eller en anden. ${\mathbf {S}}\propto {\mathbf {E}}\ gange {\mathbf {B}}$ ${\mathbf {E}}\ gange {\mathbf {H}}$ ${\mathbf {D}}\ gange {\mathbf {B}}$