Pappus sætning

Pappus' sætning er en klassisk sætning i projektiv geometri .

Ordlyd

Lad A , B , C være tre punkter på en linje, A' , B' , C' tre punkter på en anden linje. Lad tre linjer AB' , BC' , CA' skære tre linjer A'B , B'C , C'A , henholdsvis i punkterne X , Y , Z . Så ligger punkterne X , Y , Z på samme linje.

Noter

Den dobbelte formulering af Pappus' sætning er kun en omformulering af selve sætningen:

Lad linjerne passere gennem punktet A, passere gennem punktet A'. skærer og i punkterne B og C, skærer punkterne C' og Z og skærer punkterne B' og X. Så skærer linjerne BC', B'C og XZ i ét punkt (punkt Y på tegningen) eller er parallelle . $a_{1},a_{2},a_{3}$ $a_{1}',a_{2}',a_{3}'$ $a_{1}$ $a_{2}'$ $a_{3}'$ $a_{2}$ $a_{1}'$ $a_{3}'$ $a_{3}$ $a_{1}'$ $a_{2}'$

Historie

Formuleringen og beviset for denne teorem er indeholdt i den matematiske samling af Pappus af Alexandria (begyndelsen af det 4. århundrede e.Kr.). I moderne tid blev teoremet udgivet i 1566 af udgiveren og kommentatoren af Pappus' værker, Federico Commandino .

Beviser

Bevis ved at slette punkter til uendeligt

Lad punktet være skæringspunktet for linjerne, hvorpå punkterne , , og , , ligger . $O$ $EN$ $B$ $C$ $EN'$ $B'$ $C'$

Overvej skæringspunkterne mellem linjer:

$AB'\cap A'B=X$

$AC'\cap A'C=Y$

$CB'\cap C'B=Z$

Nu anvender vi en projektiv kortlægning, der tager linjen til det uendelige. $XY$

Siden : , : . Nu skal vi bevise det . $X=\infty$ $AB'\parallel A'B$ $Y=\infty$ $AC'\parallel A'C$ $BC'\parallel B'C$

Overvej lignende trekanter.

$\bigtriangleup OAC'\sim \ \bigtriangleup OCA'\Rightarrow {\frac {OC}{OA'}}={\frac {OA}{OC'}}\Rightarrow OA\cdot OA'=OC\cdot OC'$

$\bigtriangleup OAB'\sim \ \bigtriangleup OBA'\Rightarrow {\frac {OB}{OA'}}={\frac {OA}{OB'}}\Rightarrow OA\cdot OA'=OB\cdot OB'$

Det følger herfra, at (ifølge det andet kriterium for trekanters lighed ) . ${\frac {OB}{OC}}={\frac {OB'}{OC'}}\Rightarrow \bigtriangleup OCB'\sim \bigtriangleup OBC'$ $\Rightarrow BC'\parallel B'C$

Q.E.D.

Bevis via Menelaos' sætning

Anvendes til trekanter og Menelaos' sætning , kan du også bevise dette udsagn. $\bigtriangleup AXB$ $\bigtriangleup AYC$ $\bigtriangleup BZC$

Variationer og generaliseringer

Pappus' sætning er et degenereret tilfælde i Pascals sætning : hvis man erstatter en sekskant indskrevet i en kegle med en indskrevet i et par skærende linjer i Pascals sætning, så bliver den ækvivalent med Pappus' sætning. Pascal selv anså et par linjer for at være et keglesnit (det vil sige, at han anså Pappus' sætning for at være et specialtilfælde af hans sætning).

Den dobbelte formulering er et degenereret tilfælde af Brianchons sætning .

Se også

Pappus arealsætning

Litteratur

R. Courant, G. Robbins, Hvad er matematik? Kapitel IV, § 5.3.