Monges sætning (et andet navn er sætningen med tre kapsler ) er en sætning om tre cirkler formuleret af Jean d'Alembert og bevist af Gaspard Monge . Bruges ofte som et eksempel på en sætning i beviset for, at det er nyttigt at øge rummets dimension.
For tre vilkårlige cirkler, som hver ikke ligger helt inde i den anden, ligger skæringspunkterne for de fælles ydre tangenter til hvert par cirkler på den samme linje .
Det enkleste bevis bruger en tredimensionel analogi. [1] Lad tre cirkler svare til tre kugler med forskellige radier; cirklerne svarer til ækvatorerne, som opstår fra et plan, der går gennem sfærernes centre. Tre kugler kan entydigt klemmes mellem to planer. Hvert par sfærer definerer en kegle, der rører begge sfærer udefra, og toppunktet på denne kegle svarer til skæringspunktet mellem de to ydre tangenter, det vil sige det ydre lighedscenter . Da en linje af keglen ligger i hvert plan, skal toppunktet af hver kegle ligge i begge planer og derfor et sted på skæringslinjen mellem de to planer. Derfor er de tre ydre centre af homoteten collineære.
Beviset kan konstrueres uden den tredimensionelle analogi. I dette tilfælde kan vi betragte en sammensætning af tre homotetier centreret ved skæringspunkterne mellem fælles eksterne tangenter til hvert par cirkler, hvorunder hver af homoteterne vil tage en cirkel til en anden. I dette tilfælde vil produktet af koefficienterne for disse tre homoteter være lig med 1 (da koefficienten for hver af homoteterne vil være lig med forholdet mellem radius af en cirkel og radius af den anden cirkel), dvs. , vil sammensætningen af tre sådanne homotetier være en parallel oversættelse. Men hvis vi betragter et af centrene i disse tre cirkler, så kan vi se, at når man komponerer homoteter, vil det blive til sig selv, det vil sige, at det vil være et fast punkt. Som følge heraf vil sammensætningen af tre homoteter være en parallel oversættelse med et fikspunkt, så denne sammensætning vil være en identisk transformation. Og ifølge sætningen om tre homotetiske centre , hvis sammensætningen af tre homotetier er en identisk transformation, så ligger deres centre på den samme rette linje. Derfor ligger skæringspunkterne for de fælles ydre tangenter til hvert par cirkler på den samme rette linje.