Mann-Wald teorem

Mann - Wald-sætningen eller den kontinuerlige kortlægningssætning ( CMT ) er en position i sandsynlighedsteorien, der siger, at kontinuerte funktioner bevarer grænsen, selvom deres argumenter er sekvenser af tilfældige størrelser . En kontinuert funktion i Heines definition afbilder en konvergent sekvens til en anden konvergent sekvens: hvis x n → x , så g ( x n ) → g ( x ). Sætningen siger, at dette resultat også bevares, når den deterministiske sekvens { x n } erstattes af en sekvens af stokastiske variable { X n }, og konvergensbegrebet for reelle tal erstattes af en af konvergenstyperne for stokastiske variabler . .

Sætningen blev første gang bevist af Mann og Wald i 1943 [1] .

Ordlyd

Lad { X n }, X være tilfældige elementer defineret på et metrisk rum S . Lad en funktion g : S → S′ (hvor S′ er et andet metrisk rum) være diskontinuerlig i punkter fra mængden D g og Pr[ X ∈ D g ] = 0 . Derefter [2] [3] [4]

$X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X\quad \Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {d}}\ g(X);$
$X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X\quad \Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {p}}\ g(X);$
$X_{n}\ {\xrightarrow {\!\!as\!\!}}\ X\quad \Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {\!\!as\! \!}}\ g(X).$

Se også

Slutskys teorem

Noter

↑ Amemiya, 1985 , s. 88
↑ Van der Vaart, 1998 , sætning 2.3, side 7
↑ Billingsley, 1969 , s. 31, konsekvens 1
↑ Billingsley, 1999 , s. 21, sætning 2.7

Litteratur

Anatoliev, Stanislav. Økonometri for avancerede. Forelæsningsforløb . - Moskva, 2002. (Russisk)
Amemiya, Takeshi . Avanceret økonometri (ubestemt) . - Cambridge, MA: Harvard University Press , 1985. - ISBN 0-674-00560-0 .
Billingsley, PatrickKonvergens af sandsynlighedsmål (ubestemt) . - John Wiley & Sons , 1969. - ISBN 0-471-07242-7 .
Billingsley, Patrick. Konvergens af sandsynlighedsmål (ubestemt) . — 2. - John Wiley & Sons , 1999. - ISBN 0-471-19745-9 .
Mann, H.B.; Wald, A.Om stokastiske grænse- og ordensforhold // Annals of Mathematical Statistics : journal. - 1943. - Bd. 14 , nr. 3 . - S. 217-226 . - doi : 10.1214/aoms/1177731415 . — .
Van der Vaart, A.W. Asymptotisk statistik (neopr.) . - New York: Cambridge University Press , 1998. - ISBN 0-521-49603-9 .