Liouvilles sætning om tilnærmelse af algebraiske tal

Liouvilles tilnærmelsessætning for algebraiske tal er en sætning, der siger, at algebraiske irrationaliteter ikke kan tilnærmes for godt med rationelle tal . Nemlig, hvis er et algebraisk antal grader , og og er ethvert heltal , så gælder følgende ulighed : $\alfa$ $n>1$ $s$ $q$ $(q\neq 0)$

{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {C}{q^{n))))

hvor er en positiv konstant, der kun afhænger af og udtrykkes eksplicit i form af konjugerede mængder. $C$ $\alfa$ $\alfa$

Med denne teorem konstruerede Liouville først eksempler på transcendentale tal . Et sådant tal er for eksempel det tal, der er repræsenteret ved siden af hurtigt faldende termer, for eksempel

\xi =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n!)}}.

Generaliseringer

Liouvilles teorem giver nemlig et resultat, der ikke kan forbedres . For Liouvilles teorem er gentagne gange blevet styrket. $n=2$ $n\ge 3$

I 1909 etablerede Thue det for algebraiske gradtal og ulighed $\alfa$ $n$ $\nu >{\frac {n}{2}}+1$

{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {C}{q^{\nu ))))

(*)

Siegel forbedrede Thues resultat ved at vise, at den sidste ulighed holder for

\nu >\min _{s=\{1,\;2,\;\ldots ,\;n-1\}}\venstre({\frac {n}{s+1}}+s \ret)

, hvor er et heltal,

s

især kl . Senere beviste F. Dyson gyldigheden af denne ulighed for . Endelig konstaterede K. Roth , at uligheden (*) er gyldig for enhver . Resultatet af K. Roth er det bedste af sin art, da ethvert irrationelt tal , algebraisk eller ej, har uendeligt mange rationelle tilnærmelser , der opfylder uligheden $\nu >2{\sqrt {n}}$ $\nu >{\sqrt {2n))$ $\nu >2$ $\xi$ $p/q$

{\displaystyle \left|\xi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2))))

Alle styrkelserne af Liouvilles sætning nævnt ovenfor har én væsentlig ulempe - de er ineffektive, nemlig: metoderne til deres bevis tillader ikke, at man kan fastslå, hvordan konstanten i uligheden afhænger af mængderne og . $C=C(\alpha ,\;\nu )$ $\alfa$ $\nu$

Se også

Liouville nummer

Liouvilles sætning om tilnærmelse af algebraiske tal

Generaliseringer

Se også

Links