Legendres tre-kvadrat-sætning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 14. august 2022; checks kræver 2 redigeringer .

Legendres tre-kvadrat- sætning siger, at et naturligt tal kan repræsenteres af summen af ​​tre kvadrater af heltal

hvis og kun hvis n ikke kan repræsenteres som , hvor a og b er heltal.

Især tal, der ikke kan repræsenteres som summen af ​​tre kvadrater og kan repræsenteres som , er

7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63, 71, ... er OEIS -sekvensen A004215 .

Historie

Pierre de Fermat gav et kriterium for repræsentativiteten af ​​tal på formen summen af ​​tre kvadrater, men gav ikke et bevis. Nicolas de Beguelin bemærkede i 1774 [1] at ethvert naturligt tal, der ikke kan repræsenteres i formen og i formen , er summen af ​​højst tre kvadrater, men gav ikke et tilfredsstillende bevis. [2] I 1796 beviste Gauss , at ethvert naturligt tal er summen af ​​højst tre trekantede tal . Det følger heraf, at summen ikke er mere end tre kvadrater. I 1797 eller 1798 opnåede Legendre det første bevis for tre-kvadrat-sætningen. [3] I 1813 bemærkede Cauchy [4] at Legendres teorem svarer til ovenstående formulering. Tidligere, i 1801, opnåede Gauss et mere generelt resultat, [5] som resulterede i Legendres teorem. Gauss talte især antallet af løsninger til heltals-tre-kvadratligningen og generaliserede samtidig et andet resultat af Legendre, hvis bevis var ufuldstændigt [6] . Dette var sandsynligvis årsagen til de fejlagtige påstande om, at Legendres bevis var ufuldstændigt og fuldført af Gauss. [7]

Lagranges fire-kvadrat- sætning og tre-kvadrat-sætningen giver en komplet løsning på Warings problem for k  = 2.

Beviser

Beviset for, at tal ikke kan repræsenteres som en sum af tre kvadrater, er let og følger af det faktum, at enhver kvadratisk modulo 8 er kongruent med 0, 1 eller 4.

Der er flere beviser på, at resten af ​​tallene kan repræsenteres som en sum af tre kvadrater, bortset fra Legendres bevis. Dirichlets bevis fra 1850 er blevet en klassiker. [8] Den er baseret på tre lemmaer:

• Kvadratisk lov om gensidighed ,
• Dirichlets sætning om primtal i aritmetisk progression ,
• Ækvivalensklassen for en triviel tre-term kvadratisk form .

Forbindelse med fire-kvadrat-sætningen

Gauss bemærkede [9] at tre-kvadrat-sætningen gør det let at bevise fire-kvadrat-sætningen. Imidlertid er beviset for Three Squares Theorem meget vanskeligere end det direkte bevis for Four Squares Theorem, som først blev bevist i 1770.

Se også

• Fermat-Eulers sætning

Noter

1. ↑ Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin (1774, udg. 1776), s. 313-369.
2. ↑ Dixon, Leonard Eugene , History of theory of numbers , vol. II, s. 15 (Carnegie Institute of Washington 1919; AMS Chelsea Publ., 1992, genoptryk).
3. ↑ A.-M. Legendre, Essai sur la théorie des nombres , Paris, An VI (1797–1798), P. og pp. 398-399.
4. ↑ A. L. Cauchy, Mem. sci. Matematik. Phys. de l'Institut de France , (1) 14 (1813–1815), 177.
5. ↑ C.F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae , Art. 291 og 292.
6. ↑ A.-M. Legendre, Hist. et Mem. Acad. Roy. sci. Paris , 1785, s. 514-515.
7. ↑ Se for eksempel: Elena Deza og M. Deza. Tegn tal . World Scientific 2011, s. 314 [1] Arkiveret 4. august 2018 på Wayback Machine
8. ↑ bind. I, del I, II og III af : Landau , Vorlesungen über Zahlentheorie , New York, Chelsea, 1927. Anden udgave oversat til engelsk af Jacob E. Goodman, Providence RH, Chelsea, 1958.
9. ↑ Gauss, Carl Friedrich (1965), Disquisitiones Arithmeticae , Yale University Press, s. 342, afsnit 293, ISBN 0-300-09473-6