Lasker-Noether teorem

Lasker-Noether-sætningen siger, at ethvert ideal i en Noether- ring kan skrives som et endeligt skæringspunkt mellem primære idealer . En sådan repræsentation af idealet kaldes en primær nedbrydning . I tilfælde af et principielt idealdomæne svarer dette til en repræsentation som et endeligt skæringspunkt (eller produkt ) af beføjelser af primæridealer , det vil sige, det generaliserer aritmetikkens grundlæggende teorem . I 1905 blev sætningen bevist af Emanuel Lasker i det særlige tilfælde af polynomialringe eller konvergent potensrækker ; det generelle tilfælde af teoremet blev bevist af Emmy Noether i 1921.

Sætningen kan generaliseres til moduler, i hvilket tilfælde den siger, at ethvert undermodul af et endeligt genereret modul over en Noethersk ring kan repræsenteres som en endelig skæring af primære undermoduler . Denne erklæring er en generalisering af dekomponeringen til primære faktorer fra struktursætningen for endeligt genererede moduler over domæner af principielle idealer .

Den første algoritme til at finde en primær nedbrydning i en polynomiumring blev udgivet af Greta Hermann , en elev af Noether .

Definitioner

Lad R  være en kommutativ ring , M og N  være moduler over den.

• Nuldeleren for et modul M  er et element x i ringen R , således at xm = 0 for noget ikke-nul m fra M .
• Et grundstof x i en ring R kaldes nilpotent i M , hvis x n M = 0 for noget naturligt n .
• Et modul kaldes coprimært, hvis hver af dets nuldelere er nilpotente. Eksempel: abelske grupper, hvis rækkefølge er lig med potensen af ​​et primtal og frie abelske grupper.
• Et undermodul M af et modul N kaldes primært , hvis N/M er coprimært.
• Et ideelt I er primært, hvis det er et primært undermodul af R som et R -modul, det vil sige, når hver nuldivisor i R/I er nilpotent .
• Et undermodul M af et modul N kaldes irreducibelt, hvis det ikke er skæringspunktet mellem to undermoduler, der ikke er sammenfaldende med det.
• Et primært ideal forbundet med et modul M  er et primært ideal, der er udslettelse af et eller andet element i modulet.

Ordlyd

Lasker- Noether-sætningen for moduler siger, at hvert undermodul af et endeligt genereret modul over en Noether-ring er en endelig skæring af primære undermoduler. I tilfælde af ringe siger denne sætning, at ethvert ideal for en Noether-ring er et endeligt skæringspunkt mellem primære idealer.

Ækvivalent formulering: hvert endeligt genereret modul over en noethersk ring er et undermodul af et endeligt produkt af coprimære moduler.

Lasker-Noether-sætningen følger umiddelbart af følgende tre fakta:

• Hvert undermodul af et endeligt genereret modul over en Noethersk ring er skæringspunktet mellem et endeligt antal irreducerbare undermoduler.
• Hvis M  er et irreducerbart undermodul af et endeligt genereret modul N over en noethersk ring, så er højst ét ​​primideal forbundet med N/M .
• Et endeligt genereret modul over en noethersk ring er coprimært, hvis og kun hvis det højst har et primært ideal forbundet med det.

Minimal nedbrydning og unikhed

I dette afsnit betyder ordet "modul" "et endeligt genereret modul over en noethersk ring R ".

En primær dekomponering af et undermodul M af et modul N siges at være minimal, hvis det involverer det mindst mulige antal primære undermoduler. For enhver minimal nedbrydning er de tilknyttede primidealer for de primære komponenter unikt defineret - disse er de associerede primidealer for modulet N/M . Desuden er de primære komponenter svarende til de minimalt associerede primtal idealer (det vil sige dem, der ikke indeholder andre associerede primtal) også unikt defineret.

Eksempel: lad N = R = k [ x , y ] for noget felt k , og M være  idealet ( xy , y 2 ). Så har M to distinkte minimale primære nedbrydninger: M = ( y ) ∩ ( x , y 2 ) = ( y ) ∩ ( x + y , y 2 ). Det minimalt associerede primideal er ( y ), det andet associerede primsideal ( x , y ) er ikke minimalt.

Litteratur

• Atiyah M, McDonald I. Introduktion til kommutativ algebra . - M: Mir, 1972
• Zarissky O., Samuel R. Kommutativ algebra, - M. : IL, 1963.
• Leng S. Algebra, - M . : Mir, 1968.
• Lasker, E. (1905), Zur Theorie der Moduln und Ideale , Math. Ann. T. 60: 19-116 , DOI 10.1007/BF01447495 
• Noether, Emmy (1921), Idealtheorie in Ringbereichen , Mathematische Annalen T. 83(1):24, doi : 10.1007 / BF01464225 , < http://www.springerlink.com/content/m3457w8h62475473/link.fulltext . )  
• Markov, VT (2001), Primær nedbrydning , i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer , ISBN 978-1-55608-010-4