Vinogradovs middelværdisætning er en teorem af analytisk talteori om at estimere middelværdien af integralet af nogle trigonometriske summer , også kaldet Vinogradovs integral ; nøgleresultat brugt i metoden med trigonometriske summer . Sætningen er især af interesse, fordi integralet estimeret i det er lig med antallet af løsninger i heltal fra et tilstrækkeligt stort interval af et ligningssystem af en speciel form.
Da sætningen direkte vedrører trigonometriske summer (og dermed eksponenter med kompleks eksponent ), vil vi for kortheds skyld og nemheds skyld bruge notationen , hvor kan være et hvilket som helst tal.
Lad faste naturlige tal være givet . Overvej ligningssystemet
eller mere formelt
Behovet for at overveje et sådant system opstår for eksempel i den analytiske løsning af Warings problem , men det kan (i modificerede formuleringer) anvendes på andre områder.
Hvis vi angiver med antallet af heltalsløsninger af det specificerede system inden for , så er hovedspørgsmålet formuleret som følger: hvor hurtigt vokser det med vækst ?
Et trivielt skøn ville naturligvis være
Vinogradovs teorem giver direkte (ikke asymptotiske ) skøn, meget bedre end trivielle, ovenfra på mængden for faste og .
Som sædvanligt ved brug af trigonometriske summer kan betingelsen om, at variablerne svarer til ligningen, udtrykkes ved identiteten
Derfor opfylder antallet af løsninger til ligningssystemet udtrykket
Den ønskede værdi estimeres således gennem integralet over Weyl-summen , og den kan estimeres ved hjælp af metoder, der er fælles for disse summer.
Selvom hovedfordelen ved sætningen er begrænsningen af vækstrækkefølgen med hensyn til , kan den konstante (for faste og ) faktor, der ledsager denne vækstrækkefølge, også udtrykkes eksplicit i beviset.
Derudover viser estimaterne opnået i sætningen sig at være bedre, jo mere parameteren overstiger parameteren . Derfor indføres normalt en ekstra parameter , der udtrykker forholdet eller på anden måde parametriserer væksten mht .
I denne henseende, og også på grund af kompleksiteten af beviserne for sætningen og det store antal detaljer i det, afhænger de anvendte konstanter og udtryk kun af og kan variere i forskellige formuleringer af sætningen. Især er værdierne af sådanne faktorer faldet, og begrænsningerne på værdierne er blevet lempet på forskellige tidspunkter af forskellige matematikere.
I I. M. Vinogradovs bog i 1971 er følgende ordlyd givet:
Lad . For et heltal skal du angive . Så hvornår |
A. A. Karatsubas lærebog fra 1983 beviser:
Lade være et heltal, , . Så hvor ;
|
Spørgsmålet om at estimere antallet af løsninger til et ligningssystem
er direkte relateret til spørgsmålet om antallet af løsninger af systemet
på fast . Et problem svarende til dette, men noget lettet af særlige forhold og lempelse af krav, kan løses direkte. Det er løsningen af et sådant problem, der udgør hovedlemmaet, som spiller hovedrollen i beviset for Vinogradovs sætning. De særlige betingelser, der er nødvendige for muligheden for en direkte løsning af problemet er, at:
Det begrænsede antal løsninger under givne forhold er indlysende på grund af funktionernes konveksitet - ja, hvis funktionen er konveks, og intervallerne er væsentligt langt fra hinanden, så er forskellen i værdierne af den afledte af denne funktion på disse intervaller er meget anderledes. Det betyder, at værdierne på tallene fra det andet interval vil være placeret på koordinatlinjen mere sparsomt end værdierne på tallene fra det første interval. Som følge heraf medfører identiske (men forskelligt rettede) ændringer i nogle to variable i de fleste tilfælde en ulige ændring i værdien af funktionen, således at når summen forbliver inden for et vist kort interval, når variablen ændres , ændrer summen værdier i et meget stort interval. Hvis dette store interval er større end det nødvendige, vil antallet af løsninger være tilsvarende lille.
Konveksitetsovervejelserne i sig selv bruges dog ikke i det klassiske bevis for sætningen, da det direkte analyserer egenskaberne af heltalspotenser og koefficienterne for polynomier opnået fra dem .
Her er ordlyden fra Karatsubas bog. Formuleringen i Vinogradovs bog er ens, kun multiplikatorerne afhængig af er lidt forskellige .
Lad , , . Lad også løbe gennem heltal af intervaller hvor vi for en eller anden tilstand har Så opfylder antallet af værdisystemer , således at summerne ligger i vilkårlige intervaller med længder , uligheden Og hvis de samme værdier løber igennem som (uanset sidstnævnte), så opfylder antallet af tilfælde, hvor forskellene ligger, henholdsvis i intervaller med længder , uligheden |
Den største vanskelighed er at bevise estimatet for . Deraf udledes det bundne på trivielt.
Lad der være to systemer og , hvis sum af magter hører til de givne intervaller og . Det betyder faktisk det
hvor . Hvis vi erstatter udtrykket i alle led og udtrykker efter Cramer-metoden gennem brøkdele af formen (eksplicit afslører determinanterne), så vil det følge af Lagrange-sætningen , der for nogle opfylder løsningen af ligningssystemet
Matrixen af koefficienter for dette system er Vandermonde-matricen , og det er let at analysere systemets løsninger baseret på det velkendte udtryk for determinanten af sådanne matricer.
Sætningen er bevist i en integralformulering. Beviset udføres ved induktion på og i flere trin:
Historisk set blev sætningen først brugt til at løse Warings problem , men den bruges nogle gange i andre områder af talteorien - for eksempel til at estimere korte Kloosterman-summer [1] .