Vinogradovs middelværdisætning

Vinogradovs middelværdisætning  er en teorem af analytisk talteori om at estimere middelværdien af ​​integralet af nogle trigonometriske summer , også kaldet Vinogradovs integral ; nøgleresultat brugt i metoden med trigonometriske summer . Sætningen er især af interesse, fordi integralet estimeret i det er lig med antallet af løsninger i heltal fra et tilstrækkeligt stort interval af et ligningssystem af en speciel form.

Betegnelser vedtaget i artiklen

Da sætningen direkte vedrører trigonometriske summer (og dermed eksponenter med kompleks eksponent ), vil vi for kortheds skyld og nemheds skyld bruge notationen , hvor kan være et hvilket som helst tal.

Generel beskrivelse af problemet

Lad faste naturlige tal være givet . Overvej ligningssystemet

eller mere formelt

Behovet for at overveje et sådant system opstår for eksempel i den analytiske løsning af Warings problem , men det kan (i modificerede formuleringer) anvendes på andre områder.

Hvis vi angiver med antallet af heltalsløsninger af det specificerede system inden for , så er hovedspørgsmålet formuleret som følger: hvor hurtigt vokser det med vækst ?

Et trivielt skøn ville naturligvis være

Vinogradovs teorem giver direkte (ikke asymptotiske ) skøn, meget bedre end trivielle, ovenfra på mængden for faste og .

Integral formulering

Som sædvanligt ved brug af trigonometriske summer kan betingelsen om, at variablerne svarer til ligningen, udtrykkes ved identiteten

Derfor opfylder antallet af løsninger til ligningssystemet udtrykket

Den ønskede værdi estimeres således gennem integralet over Weyl-summen , og den kan estimeres ved hjælp af metoder, der er fælles for disse summer.

Udsagn om sætningen

Selvom hovedfordelen ved sætningen er begrænsningen af ​​vækstrækkefølgen med hensyn til , kan den konstante (for faste og ) faktor, der ledsager denne vækstrækkefølge, også udtrykkes eksplicit i beviset.

Derudover viser estimaterne opnået i sætningen sig at være bedre, jo mere parameteren overstiger parameteren . Derfor indføres normalt en ekstra parameter , der udtrykker forholdet eller på anden måde parametriserer væksten mht .

I denne henseende, og også på grund af kompleksiteten af ​​beviserne for sætningen og det store antal detaljer i det, afhænger de anvendte konstanter og udtryk kun af og kan variere i forskellige formuleringer af sætningen. Især er værdierne af sådanne faktorer faldet, og begrænsningerne på værdierne er blevet lempet på forskellige tidspunkter af forskellige matematikere.

I I. M. Vinogradovs bog i 1971 er følgende ordlyd givet:

Lad . For et heltal skal du angive .

Så hvornår

A. A. Karatsubas lærebog fra 1983 beviser:

Lade være  et heltal, , . Så hvor

;

Hovedlemma

Essensen af ​​udsagnet

Spørgsmålet om at estimere antallet af løsninger til et ligningssystem

er direkte relateret til spørgsmålet om antallet af løsninger af systemet

på fast . Et problem svarende til dette, men noget lettet af særlige forhold og lempelse af krav, kan løses direkte. Det er løsningen af ​​et sådant problem, der udgør hovedlemmaet, som spiller hovedrollen i beviset for Vinogradovs sætning. De særlige betingelser, der er nødvendige for muligheden for en direkte løsning af problemet er, at:

Det begrænsede antal løsninger under givne forhold er indlysende på grund af funktionernes konveksitet  - ja, hvis funktionen er konveks, og intervallerne er væsentligt langt fra hinanden, så er forskellen i værdierne af den afledte af denne funktion på disse intervaller er meget anderledes. Det betyder, at værdierne på tallene fra det andet interval vil være placeret på koordinatlinjen mere sparsomt end værdierne på tallene fra det første interval. Som følge heraf medfører identiske (men forskelligt rettede) ændringer i nogle to variable i de fleste tilfælde en ulige ændring i værdien af ​​funktionen, således at når summen forbliver inden for et vist kort interval, når variablen ændres , ændrer summen værdier i et meget stort interval. Hvis dette store interval er større end det nødvendige, vil antallet af løsninger være tilsvarende lille.

Konveksitetsovervejelserne i sig selv bruges dog ikke i det klassiske bevis for sætningen, da det direkte analyserer egenskaberne af heltalspotenser og koefficienterne for polynomier opnået fra dem .

Streng formulering

Her er ordlyden fra Karatsubas bog. Formuleringen i Vinogradovs bog er ens, kun multiplikatorerne afhængig af er lidt forskellige .

Lad , , . Lad også løbe gennem heltal af intervaller

hvor vi for en eller anden tilstand har

Så opfylder antallet af værdisystemer , således at summerne ligger i vilkårlige intervaller med længder , uligheden

Og hvis de samme værdier løber igennem som (uanset sidstnævnte), så opfylder antallet af tilfælde, hvor forskellene ligger, henholdsvis i intervaller med længder , uligheden

Kort oversigt over beviset

Den største vanskelighed er at bevise estimatet for . Deraf udledes det bundne på trivielt.

Lad der være to systemer og , hvis sum af magter hører til de givne intervaller og . Det betyder faktisk det

hvor . Hvis vi erstatter udtrykket i alle led og udtrykker efter Cramer-metoden gennem brøkdele af formen (eksplicit afslører determinanterne), så vil det følge af Lagrange-sætningen , der for nogle opfylder løsningen af ​​ligningssystemet

Matrixen af ​​koefficienter for dette system er Vandermonde-matricen , og det er let at analysere systemets løsninger baseret på det velkendte udtryk for determinanten af ​​sådanne matricer.

Bevisskema for sætningen

Sætningen er bevist i en integralformulering. Beviset udføres ved induktion på og i flere trin:

  1. Intervallet er opdelt i et bestemt (afhængigt af ) antal delintervaller, og den multiple trigonometriske sum under integralet dekomponeres i et sæt af sådanne summer for hver mulig kombination af sådanne intervaller;
  2. Alle sæt underintervaller er opdelt i to grupper:
    • sæt, blandt hvilke der i det mindste er sådanne, at ikke to af dem er tilstødende og ikke er sammenfaldende;
    • alle andre sæt.
  3. Derefter begrænses det samlede antal løsninger til summen af ​​antallet af løsninger for mængderne af hvert af disse to sæt (multipliceret med konstanten 2).
  4. Fra det første sæt af sæt vælges et, for hvilket kvadratet af modulet af den trigonometriske sum er maksimum. Derefter estimeres summen over alle sæt trivielt ved at gange summen over det bedste sæt med antallet af sæt.
  5. Gennem uligheden mellem de aritmetiske og geometriske middelværdier i det valgte sæt af det første sæt af variabler "drives" de ind i et eller andet interval (det vil sige, det er bevist, at hvis de løber gennem et bestemt, en for alle, interval i stedet for af deres egne, så falder antallet af løsninger ikke). Det vil sige, at på dette trin reduceres ligningssystemet til den form, når variablerne løber gennem forskellige, med afstand mellemrum, og variablerne løber gennem et og samme interval.
  6. Antallet af løsninger af det resulterende ligningssystem er udtrykt ved summen over produkterne af antallet af repræsentationer af et bestemt tal
  7. Antallet af repræsentationer af forskellen i summen af ​​variabler fra de samme intervaller er taget ud af parentes og estimeret gennem induktionsantagelsen (da både antallet af variabler og intervallet af deres værdier er lille sammenlignet med de oprindelige) ;
  8. Efter at have taget faktoren ud af parentes, bliver udtrykket for antallet af løsninger til ligningen et udtryk for antallet af løsninger til den ulighed, der begrænser forskellen mellem to potenssummer. Antallet af løsninger på denne ulighed estimeres gennem hovedlemmaet.
  9. For det andet sæt af subintervaller er det simpelthen bevist, at der er meget få sådanne sæt. Yderligere reduceres alle variablerne igen til et (men kortere end ) interval, og dette giver os allerede mulighed for at anvende den induktive antagelse på den bedste af dem (i betydningen det største antal løsninger).

Ansøgninger

Historisk set blev sætningen først brugt til at løse Warings problem , men den bruges nogle gange i andre områder af talteorien - for eksempel til at estimere korte Kloosterman-summer [1] .

Noter

  1. M. A. Korolev, Metoder til at estimere Kloostermans korte summer, Chebyshevsky Sb., 2016, bind 17, udgave 4, 79-109 . Hentet 14. januar 2018. Arkiveret fra originalen 10. marts 2018.

Litteratur