Vivianis sætning

Vivianis sætning er et udsagn i en trekants geometri , ifølge hvilken summen af afstandene fra et vilkårligt punkt inde i en ligesidet trekant til dens sider er konstant og lig med højden af trekanten. Opkaldt efter den italienske matematiker Vincenzo Viviani .

Med hensyn til konstansen af summen af afstande fra et vilkårligt indre punkt til siderne, kan udsagnet generaliseres til ligesidede polygoner og polygoner med lige store vinkler [1] .

Bevis

Sætningen kan bevises ved at sammenligne arealer af trekanter. Lade være en ligesidet trekant, hvor - højden, - længden af hver af siderne. Punktet vælges vilkårligt inde i trekanten, og så er , , afstandene fra punktet til trekantens sider. Herefter kan arealet bestemmes som følger: $\trekant ABC$ $h$ $s$ $P$ $l$ $m$ $n$ $P$ $\trekant ABC$

{\displaystyle S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}+S_{\triangle BCP))

hvoraf følgende forhold følger:

{\frac {sh}{2}}={\frac {sl}{2}}+{\frac {sm}{2}}+{\frac {sn}{2}}

det er:

h=\ell +m+n

Ansøgninger

Vivianis sætning giver dig mulighed for at få koordinaterne for punkter på tre- komponent diagrammer ved at tegne linjer parallelt med siderne af en ligesidet trekant. Især kan brændbarhedsdiagrammer denne måde

I et mere generelt tilfælde giver de dig mulighed for at indstille koordinater på samme måde på en almindelig simplex .

Noter

↑ Elias Abboud "On Viviani's Theorem and its Extensions" Arkiveret 25. februar 2018 på Wayback Machine s. 2, 11

Vivianis sætning

Bevis

Ansøgninger

Noter

Links