Tensor analyse

Tensoranalyse er en generalisering af vektoranalyse , et afsnit af tensorregning , der studerer differentialoperatorer, der virker på algebraen af tensorfelter i en differentierbar manifold . Vi betragter også operatorer, der virker på mere generelle geometriske objekter end tensorfelter: tensortætheder, differentialformer med værdier i et vektorbundt. $D(M)$ $M$

Af størst interesse er operatorer, hvis handling ikke fører uden for algebraen , blandt dem er den kovariante afledte , Lie-afledte , den ydre afledede , krumningstensoren af en ikke-degenereret, dobbelt kovariant tensor . $D(M)$

Kovariant afledt

Den kovariante afledte langs et vektorfelt er en lineær kortlægning af rummet af vektorfelter i manifolden , afhængigt af vektorfeltet og opfylder betingelserne: $x$ $\nabla _{X}$ $D^{1}(M)$ $M$ $x$

\nabla _{f}X+{}_{{gV}}Z=f\nabla _{X}Z,

\nabla _{X}(fZ)=f\nabla _{X}Z+(Xf)Y,

hvor , , , , er glatte funktioner på . Forbindelsen og paralleloversættelsen defineret af denne operator tillader os at udvide handlingen af den kovariante afledte til en lineær afbildning af algebraen ind i sig selv; desuden er kortlægningen en differentiering, bevarer typen af tensorfeltet og permuterer med foldning. $x$ $Y$ $Z\in D'(M)$ $f$ $g$ $M$ $\Gamma$ $D(M)$ $\nabla X$

I lokale koordinater er den kovariante afledte af en tensor med komponenter i forhold til en vektor defineret som: $u^{1},\;u^{2},\;\ldots ,\;u^{n}$ $T\venstre(T_{{j_{1}\ldots {j_{m}}}}^{{i_{1}\ldots {i_{l}}}}\right)$ $X=\xi ^{i}{\frac {\partial }{\partial u^{i))}$

\nabla _{X}T=\xi ^{s}\left({\frac {\partial T_{{j_{1}\ldots m}}^{{i_{1}\ldots i_{l}}} }{\partial u^{s}}}+\Gamma _{{k_{s}}}^{{i_{1}}}T_{{j_{1}\ldots j_{m}}}^{{ k\ldots i_{l}}}+\ldots -\Gamma _{{j_{{i,s}}}}^{k}T_{{k\ldots j_{m}}}^{{i_{1 }\ldots i_{l}}}}\right),

\Gamma _{{ks}}^{i}

er et forbindelsesobjekt .

\Gamma

Løgn afledt

Lie-afledningen langs vektorfeltet er en kortlægning af rummet defineret af formlen , hvor er kommutatoren af vektorfelter ,. Denne operatør udvider også unikt til differentiering , bevarer typen af tensorer og pendler med foldning . I lokale koordinater er den afledte af Lie-tensoren udtrykt som følger: $x$ $L_{X}$ $D'(M)$ $L_{X}:Y\til [X,\;Y]$ $[X,\;Y]$ $x$ $Y$ $D(M)$ $T\venstre(T_{{j_{1}\ldots {j_{m}}}}^{{i_{1}\ldots {i_{l}}}}\right)$

L_{X}T=\xi ^{k}{\frac {\partial T_{{j_{1}\ldots j_{m))}^{{i_{1}\ldots i_{l)))){ \partial u^{k))}+T_{{k\ldots j_{m))}^{{i_{1}\ldots i_{l))}{\frac {\partial \xi ^{k)) {\partial u^{i))}+\ldots -T_{{j_{1}\ldots j_{m))}^{{k\ldots i_{l))}{\frac {\partial \xi ^ {{i_{1}}}}{\partial u^{k}}}-\ldots

Ekstern afledt

Den eksterne differential (ekstern afledt) er en lineær operator , der forbinder en ekstern differentialform (skæv-symmetrisk kovariant tensor) med en grad med en form af samme type og grad , der opfylder betingelserne: $d$ $s$ $p+1$

d(\omega _{1}\wedge \omega _{2})=d\omega _{1}\wedge \omega _{2}+(-1)^{r}\omega _{1}\wedge d\omega _{2},\quad d(d\omega )=0,

hvor er symbolet på det ydre produkt , er graden af . I lokale koordinater er den eksterne afledte af tensoren udtrykt som følger: $\kile$ $r$ $\omega_{1}$ $\omega \langle \omega _{{i_{1}\ldots i_{p}}}\rangle$

d\omega =\sum _{{n=0}}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\partial \omega _{{i_{1}\ldots {\hat i}_ {k}\ldots i_{{p+1}}}}}{\partial u^{{i_{k}}}}}.

Operatøren er en generalisering af operatøren . $d$ ${\mathrm {rot}}$

Krumningstensor

Krumningstensoren af en symmetrisk ikke-degenereret dobbelt kovariant tensor er handlingen af en eller anden ikke-lineær operator : $g_{{if}}$ $R$

g_{if}\to R_{mlk}^{s}={\frac {\partial \Gamma _{km}^{s)){\partial u^{l))}-{\frac { \partial \Gamma _{kl}^{s}}{\partial u^{m}}}+\sum _{p}\left(\Gamma _{lp}^{s}\Gamma _{km}^ {p}-\Gamma _{mp}^{s}\Gamma _{kl}^{p}\right)

hvor

\Gamma _{jk}^{i}={\frac {1}{2}}g^{er}\left({\frac {\partial g_{js}}{\partial u^{k ))}+{\frac {\partial g_{ks}}{\partial u^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial u^{s}}}\right)

Litteratur

Sokolnikov I. S. Tensoranalyse. — M .: Nauka, 1971. — 374 s.
Shouten Ya. A. Tensoranalyse for fysikere. - M. : Hovedudgave af fysisk og matematisk litteratur fra forlaget "Nauka", 1965. - 456 s.
Shirokov P. A. Tensorregning. - M. - L .: Gostekhizdat, 1934. - 464 s.