Krumning tensor

Den Riemannske krumningstensor (nogle gange kaldet Riemann-Christoffel krumningstensoren ) er en standard måde at udtrykke krumningen af Riemannmanifolder på , og mere generelt af vilkårlige manifolder med en affin forbindelse , torsionsfri eller med torsion.

Opkaldt efter Bernhard Riemann .

Definition

Krumningstensoren er defineret som en lineær transformation af tangentrummet i hvert punkt af manifolden, som karakteriserer ændringen i vektoren , overført parallelt langs et infinitesimalt lukket parallelogram spændt ud af vektorerne . $R(u,\;v)$ $u,\;v$

Krumningstensoren udtrykkes i termer af Levi-Civita-forbindelsen , eller generelt den affine forbindelse (som også kaldes den kovariante afledte ) som følger: $\nabla$

R(u,\;v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{{[u,\;v] }}w,

hvor er Lie-beslaget . $[u,\;v]$

Hvis vektorfelterne er givet ved differentiering med hensyn til koordinaterne , og , og derfor pendler ( ), antager formlen en forenklet form: $u=\partial /\partial x_{i}$ $v=\partial /\partial x_{j}$ $[u,\;v]=0$

R(u,\;v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w,

krumningstensoren måler således ikke- kommutativiteten af kovariante derivater .

Bemærk. Nogle forfattere definerer krumningstensoren med det modsatte fortegn

Relaterede definitioner

Den lineære transformation kaldes krumningstransformationen . $w\mapsto R(u,\;v)w$
Hvis og er to vinkelrette enhedsvektorer i punktet , så afhænger udtrykket kun af planet ved , som er spændt over og . $u$ $v$ $s$ $\langle R(u,\;v)v,\;u\rangle$ $\sigma$ $T_{p}$ $u$ $v$
- Planet kaldes snitretningen . $\sigma$
- Størrelsen kaldes sektionskrumningen i retningen og betegnes normalt med . $\langle R(u,\;v)v,\;u\rangle$ $\sigma$ $K_{\sigma }$

Komponenter af krumningstensoren

I koordinatsystemet er komponenterne i krumningstensoren defineret som følger: $x^{\mu}$

{R^{\rho }}_{{\sigma \mu \nu }}=dx^{\rho }(R(\partial _{{\mu }}),\;\partial _{{\nu} } )\partial_{{\sigma }}),

hvor er et vektorfelt, der tangerer koordinatlinjen i hvert punkt . Med hensyn til Christoffel-symboler : $\partial _{{\mu }}=\partial /\partial x^{{\mu }}$ $x^{\mu}$

{R^{\rho }}_{{\sigma \mu \nu }}=\partial _{\mu }\Gamma _{{\nu \sigma }}^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{{\mu \sigma }}^{\rho }+\Gamma _({\mu \lambda }}^{\rho }\Gamma _({\nu \sigma }}^{\lambda } -\Gamma _{{\nu \lambda }}^{\rho }\Gamma _{{\mu \sigma }}^{\lambda }.

I todimensionelt rum er den eneste ikke-trivielle komponent den Gaussiske krumning .

Symmetrier

Riemann krumningstensoren har følgende symmetriegenskaber:

R(u,\;v)=-R(v,\;u);

\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =-\langle R(u,\;v)z,\;w\rangle ;

R(u,\;v)w+R(v,\;w)u+R(w,\;u)v=0.

Den sidste identitet blev opdaget af Ricci , selvom den kaldes den første Bianchi-identitet eller den algebraiske Bianchi-identitet .

Disse tre identiteter definerer det komplette sæt af symmetrier af krumningstensoren, det vil sige, for enhver tensor, der opfylder disse relationer, kan man finde en Riemannmanifold, hvis krumning er beskrevet af denne tensor. En simpel kombinatorisk beregning viser, at krumningstensoren skal have uafhængige komponenter. $n^{2}(n^{2}-1)/12$

En anden nyttig relation følger af disse tre identiteter:

\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =\langle R(w,\;z)u,\;v\rangle .

Bianchi-identiteten (også kaldet den anden Bianchi-identitet eller Bianchi- differentiel identitet ) involverer kovariante derivater:

\nabla _{u}R(v,\;w)+\nabla _{v}R(w,\;u)+\nabla _{w}R(u,\;v)=0.

I et givet koordinatsystem i et kvarter omkring et eller andet punkt af manifolden kan ovenstående identiteter i komponenterne af krumningstensoren skrives som følger. Parenteser angiver symmetriisering ; sænkningen efter semikolon betyder den kovariante afledte.

R_{{abcd}}=-R_{{bacd}}=-R_{{abdc}};

R_{{abcd}}=R_{{cdab}};

R_{{a(bcd)}}=R_{{abcd}}+R_{{acdb}}+R_{{adbc}}=0

(den første Bianchi-identitet);

R_{{ab(cd;e)}}=R_{{abcd;e}}+R_{{abde;c}}+R_{{abec;d}}=0

(den anden Bianchi-identitet).

Se også

Litteratur

Burago Yu. D., Zalgaller V. A. Introduktion til Riemannsk geometri. - St. Petersborg: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .