Ricci tensor

Ricci-tensoren , opkaldt efter Ricci-Curbastro , angiver en af måderne at måle krumningen af en manifold på, det vil sige i hvilken grad geometrien af en manifold adskiller sig fra geometrien af et fladt euklidisk rum . Ricci-tensoren er ligesom den metriske tensor en symmetrisk bilineær form på tangentrummet af en Riemann-manifold . Groft sagt måler Ricci-tensoren volumendeformationen , det vil sige i hvilken grad n - dimensionelle områder af en n - dimensional manifold adskiller sig fra lignende områder i det euklidiske rum. Se den geometriske betydning af Ricci-tensoren.

Normalt betegnet med eller . $\mathrm {Ric}$ $\mathrm {Rc}$

Definition

Lad være en n - dimensional Riemannmanifold , og lad være tangentrummet til M i punktet p . For et hvilket som helst par af tangentvektorer ved p , afbildes Ricci-tensoren per definition til sporet af en lineær automorfi givet af Riemann-krumningstensoren R : $(M,g)$ $T_{p}M$ $\xi ,\eta \in T_{p}M$ ${\mathrm {Ric}}(\xi ,\eta )$ $(\xi ,\eta )$ $T_{p}M\til T_{p}M$

\zeta \mapsto R(\zeta ,\eta )\xi

Hvis lokale koordinater er angivet på manifolden, kan Ricci-tensoren udvides til komponenter:

\operatørnavn {Ric}=R_{{ij}}\,dx^{i}\otimes dx^{j}

hvor er sporet af Riemann-tensoren i koordinat-repræsentationen. $R_{{ij}}={R^{k}}_{{ikj}}.$

Geometrisk sans

I et kvarter til ethvert punkt p i en Riemannmanifold kan man altid definere specielle lokale koordinater, de såkaldte normale geodætiske koordinater , hvor geodætikken fra punktet p falder sammen med linjerne, der går gennem oprindelsen. På selve punktet p er den metriske tensor lig med metrikken for det euklidiske rum (eller Minkowski-metrikken i tilfælde af en pseudo-riemannsk manifold ). $(M,g)$ $\delta _{{ij}}$ $\eta _{{ij}}$

I disse specielle koordinater udvides volumenformen til en Taylor-serie omkring p :

d\mu _{g}={\Big [}1-{\frac {1}{6}}R_{jk}x^{j}x^{k}+O(|x|^{ 3}){\Big ]}d\mu _{\text{Euclid))

Således, hvis Ricci-krumningen er positiv i retningen af vektoren , så vil den smalle kegle af geodætik, der udgår fra punktet p i retningen , have et mindre volumen end den samme kegle i det euklidiske rum. Tilsvarende, hvis Ricci-krumningen er negativ, vil den smalle kegle af geodetik i retning af vektoren have et større volumen end den euklidiske. ${\textrm {Ric}}(\xi ,\xi )$ $\xi$ $\xi$ $\xi$

Ricci-krumning og geometri generelt

Lad der være en komplet -dimensionel Riemann-manifold med $M$ $n$ $\operatørnavn {Ric}_{M}\geq (n-1)\kappa$

Biskop-Gromov ulighed . Lad , betegne ved volumenet af en kugle med radius centreret ved , betegne ved volumenet af en kugle med radius i dimensionelle rum med konstant krumning . Så forholdet $p\in M$ $v_{p}(r)$ $r$ $s$ ${\tilde v}(r)$ $r$ $n$ $\kappa$ ${\frac {v_{p}(r)}{{\tilde v}(r)))$

er en ikke-stigende funktion af .

r

Meyers sætning
Det følger af Bochner-identiteten for 1-former, at hvis egenværdierne for Laplacian ikke er mindre end dem for den enhedsdimensionelle sfære. $\kappa =1$ $M$ $n$

Anvendelser af Ricci-tensoren

Ricci-kurvaturtensoren i generel relativitet fungerer som en nøglekomponent i Einsteins ligninger .

Ricci-krumningen optræder også i Ricci-flowligningen , hvor den tidsafhængige metriske deformeres i forhold til minus Ricci-krumningen.

Ricci tensor

Definition

Geometrisk sans

Ricci-krumning og geometri generelt

Anvendelser af Ricci-tensoren

Se også