Solid vinkel

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 7. december 2019; checks kræver 2 redigeringer .

En rumfangsvinkel er en del af rummet, der er foreningen af alle stråler, der kommer ud af et givet punkt ( vinklens toppunkt ) og skærer en overflade (som kaldes den overflade, der underbygger den givne rumvinkel). Særlige tilfælde af rumvinklen er trihedriske og polyedriske vinkler . Grænsen for rumvinklen er en eller anden konisk overflade . Rumvinklen betegnes normalt med bogstavet Ω .

Rumvinklen måles ved forholdet mellem arealet af den del af kuglen , der er centreret ved vinklens toppunkt, som skæres af denne rumvinkel, og kvadratet af kuglens radius :

\Omega \,=\,{S \over R^{2}}.

Massive vinkler måles ved abstrakte (dimensionsløse) størrelser. Rumvinklens SI -enhed er steradianen , som er lig med rumvinklen, der skærer en overflade med areal r 2 fra en kugle med radius r . En komplet kugle danner en rumvinkel lig med 4π steradianer ( fuld rumvinkel ) for et toppunkt placeret inde i kuglen, specifikt for kuglens centrum; det samme er den rumvinkel, under hvilken enhver lukket flade er synlig fra et punkt, der er fuldstændig omsluttet af denne flade, men ikke hører til den. Ud over steradianer kan rumvinklen måles i kvadratgrader, kvadratminutter og kvadratsekunder samt i brøkdele af en fuld rumvinkel.

Rumvinklen har nul fysisk dimension .

Den dobbelte rumvinkel til en given rumvinkel Ω er defineret som en vinkel bestående af stråler, der danner en ikke-spids vinkel med en hvilken som helst vinkelstråle Ω .

Koefficienter til omregning af rumvinkelenheder.

$\Omega$	Steradian	sq. grad	sq. minut	sq. sekund	fuld vinkel
1 steradian =	en	(180/π)² ≈ ≈ 3282.806 kvm. grader	(180×60/π)² ≈ ≈ 1,1818103⋅10 7 sq. minutter	(180×60×60/π)² ≈ ≈ 4,254517⋅10 10 kvm. sekunder	1/4π ≈ ≈ 0,07957747 fuld vinkel
1 kvm. grad =	(π/180)² ≈ ≈ 3,0461742⋅10 −4 steradianer	en	60² = = 3600 sq. minutter	(60×60)² = = 12.960.000 sq. sekunder	π/(2×180)² ≈ ≈ 2,424068⋅10 −5 fuld vinkel
1 kvm. minut =	(π/(180×60))² ≈ ≈ 8,461595⋅10 −8 steradianer	1/60² ≈ ≈ 2,7777778⋅10 −4 kvm. grader	en	60² = = 3600 sq. sekunder	π/(2×180×60)² ≈ ≈ 6,73352335⋅10 −9 fuld vinkel
1 kvm. sekund =	(π/(180×60×60))² ≈ ≈ 2,35044305⋅10 −11 steradianer	1/(60×60)² ≈ ≈ 7,71604938⋅10 −8 sq. grader	1/60² ≈ ≈ 2,7777778⋅10 −4 kvm. minutter	en	π/(2×180×60×60)² ≈ ≈ 1,87042315⋅10 −12 fuld vinkel
fuld vinkel =	4π ≈ ≈ 12,5663706 steradianer	(2×180)²/π ≈ ≈ 41252,96125 kvm. grader	(2×180×60)²/π ≈ ≈ 1,48511066⋅10 8 kvm. minutter	(2×180×60×60)²/π ≈ ≈ 5,34638378⋅10 11 kvm. sekunder	en

Beregning af rumvinkler

For en vilkårlig kontraherende overflade S er rumvinklen Ω , under hvilken den er synlig fra origo, lig med

\Omega =\int \limits _{S}d\Omega =\iint \limits _{S}\sin \vartheta \,d\varphi \,d\vartheta =\int \limits _{S}{\frac { ({\mathbf {r}}/r)\cdot {\mathbf {n}}dS}{r^{2}}},

hvor er overfladeelementets sfæriske koordinater , er dets radiusvektor , er enhedsvektoren normal til $r,\vartheta ,\varphi$ $ds,$ $\mathbf {r}$ $\mathbf {n}$ $dS.$

Egenskaber for rumvinkler

Den fulde rumvinkel (fuld kugle) er 4 π steradianer.
Summen af alle rumvinkler dobbelt med de indre rumvinkler af et konveks polyeder er lig med den fulde vinkel.

Værdier for nogle rumvinkler

En trekant med toppunktskoordinater , , er synlig fra origo i en solid vinkel ${\mathbf {r}}_{1}$ ${\mathbf {r}}_{2}$ ${\mathbf {r}}_{3}$

\Omega =2\,{\mathrm {arctg}}\,{\frac {({\mathbf {r}}_{1}{\mathbf {r}}_{2}{\mathbf {r}}_ {3})}{r_{1}r_{2}r_{3}+({\mathbf {r}}_{1}\cdot {\mathbf {r}}_{2})r_{3}+ ({\mathbf {r}}_{2}\cdot {\mathbf {r}}_{3})r_{1}+({\mathbf {r}}_{3}\cdot {\mathbf {r }} }}_{1})r_{2}}},

hvor er det blandede produkt af disse vektorer, er skalarprodukterne af de tilsvarende vektorer, fed skrift angiver vektorer, og normal type angiver deres længder. Ved hjælp af denne formel kan man beregne rumvinklerne understrakt af vilkårlige polygoner med kendte koordinater for hjørnerne (for at gøre dette er det tilstrækkeligt at opdele polygonen i ikke-skærende trekanter).

({\mathbf {r}}_{1}{\mathbf {r}}_{2}{\mathbf {r}}_{3})

({\mathbf {r}}_{i}\cdot {\mathbf {r}}_{j})

Rumvinklen ved spidsen af en ret cirkulær kegle med åbningsvinkel α er Hvis basens radius og højden af keglen er kendt, så Når keglens åbningsvinkel er lille (vinklen er udtrykt i radianer) , eller (vinklen er udtrykt i grader). Så den faste vinkel, hvorved Månen og Solen er synlige fra Jorden (deres vinkeldiameter er omtrent lig med 0,5 °) er omkring 6⋅10 −5 steradianer, eller ≈0,0005% af himmelkuglens areal (det vil sige den samlede rumvinkel). $\Omega =2\pi \left(1-\cos {\frac {\alpha }{2}}\right).$ $R$ $H$ $\Omega =2\pi \left(1-{\frac {H}{\sqrt {R^{2}+H^{2))))\right).$ $\Omega \approx {\frac {\pi \alpha ^{2}}{4}}$ $\alfa$ ${\displaystyle \Omega \approx 0{,}000239\alpha ^{2))$ $\alfa$

Rumvinklen for en dihedrisk vinkel i steradianer er lig med to gange værdien af den dihedriske vinkel i radianer.

Rumvinklen af en trihedrisk vinkel udtrykkes af Lhuilliers sætning i form af dens flade vinkler ved toppunktet, som: $\theta _{a},\theta _{b},\theta _{c}$

\Omega =4\,\operatørnavn {arctg}{\sqrt {\operatørnavn {tg}\left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatørnavn {tg}\left({ \frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatørnavn {tg}\left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}} {2}}\right)\operatørnavn {tg}\left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right))),

hvor er semiperimeteren.

\theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}

Med hensyn til dihedriske vinkler udtrykkes en solid vinkel som:

\alfa ,\beta ,\gamma

\Omega =\alpha +\beta +\gamma -\pi .

Rumvinklen ved toppunktet af en terning (eller en hvilken som helst anden kasse ) er lig med den fulde rumvinkel eller steradian. ${\frac {1}{8))$ ${\frac {\pi }{2))$

Den rumvinkel, hvor fladen af en regulær N -hedron er synlig fra dens centrum, er lig med den fulde rumvinkel eller steradian. ${\frac {1}{N}}$ ${\frac {4\pi }{N}}$

Rumvinklen, ved hvilken en cirkel med radius R ses fra et vilkårligt punkt i rummet (det vil sige rumvinklen ved toppunktet af en vilkårlig cirkulær kegle, ikke nødvendigvis en lige), beregnes ved hjælp af komplette elliptiske integraler af 1. og 3. slags [1] :

\Omega =2\pi +{\frac {2H}{L}}\venstre({\frac {rR}{r+R}}\,\Pi (\alpha ^{2},k)- K(k)\højre)

på

r\leq R,

\Omega ={\frac {2H}{L}}\venstre({\frac {rR}{r+R}}\,\Pi (\alpha ^{2},k)-K(k) \ret)

på

r>R,

hvor og er de fuldstændige normale elliptiske Legendre-integraler af henholdsvis 1. og 3. art;

K(k)

\Pi (\alpha ^{2},k)

r

er afstanden fra midten af keglens bund til projektionen af toppen af keglen på bundens plan;

H

er højden af keglen;

{\displaystyle L={\sqrt {H^{2}+(r+R)^{2))))

er længden af keglens maksimale generatrix;

k={\frac {\sqrt {4rR}}{L));

\alpha ={\frac {\sqrt {4rR}}{r+R}}.

Litteratur

Hopf H. Selected Chapters of Geometry // ETH Zürich forelæsning, pp. 1-2, 1940.
Van Oosterom A., Strackee J. Den faste vinkel af en plan trekant // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. - 1983. - Bd. 30. - S. 125-126. — ISSN 0018-9294 . - doi : 10.1109/TBME.1983.325207 . — PMID 6832789 .
Weisstein EW Solid Angle . Fra MathWorld - En Wolfram-webressource.
Gardner RP, Verghese K. Om den rumfangsvinkel, der er dækket af en cirkulær skive // Nukleare instrumenter og metoder. - 1971. - Bd. 93. - S. 163-167. - doi : 10.1016/0029-554X(71)90155-8 . - .

Se også

Noter

↑ Paxton F. Solid Angle Calculation for a Circular Disk // Gennemgang af videnskabelige instrumenter. - 1959. - April ( bind 30 , nr. 4 ). - S. 254-258 . - doi : 10.1063/1.1716590 . - . Arkiveret fra originalen den 7. august 2017.