Frihedsgrader (sandsynlighedsteori)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 16. oktober 2019; verifikation kræver 1 redigering .

Antallet af frihedsgrader er antallet af værdier i den endelige statistiske beregning , der kan variere. Med andre ord viser antallet af frihedsgrader dimensionen af vektoren af tilfældige variable, antallet af "frie" variabler, der er nødvendige for fuldstændigt at definere vektoren.

Antallet af frihedsgrader kan ikke kun være et naturligt tal , men også et hvilket som helst reelt tal, selvom standardtabeller kun beregner p-værdien af de mest almindelige fordelinger for et naturligt antal frihedsgrader.

Grader af distributionsfrihed

Chi-kvadrat

Hvis de stokastiske variable er uafhængige og alle har en standardnormalfordeling ( ) , så siges den stokastiske variabel , som er summen af kvadrater af standardnormalvariable i antallet af stykker, at have en chi-kvadratfordeling med frihedsgrader ( ): $Z_{1};\ldots ;Z_{n}$ $Z\sim {\mathcal {N}}(0;1)$ $x$ $n$ $n$ $\chi _{n}^{2}$

$X=\sum \limits _{{i=1}}^{n}Z_{i}^{2}\sim \chi _{n}^{2}$

Elevens t - fordeling

Hvis en stokastisk variabel har en standardnormalfordeling ( ), har en stokastisk variabel en chi-kvadratfordeling med frihedsgrader ( ) og og er uafhængige (deres korrelation er nul), så har en stokastisk variabel en Students fordeling med frihedsgrader ( ): $Z$ $Z\sim {\mathcal {N}}(0;1)$ $x$ $n$ $\chi _{n}^{2}$ $Z$ $x$ $T={\frac {Z}{{\sqrt {{\frac {X}{n}}}}}}$ $n$ $t_{n}$

$T={\frac {{\mathcal {N}}(0;1)}{{\sqrt {{\frac {\chi _{n}^{2}}{n}}}}}}\sim t_ {n}$

Fisher-Snedecor distribution

Hvis en stokastisk variabel har en chi-kvadrat-fordeling med frihedsgrader, og en stokastisk variabel har en chi-kvadrat-fordeling med frihedsgrader, så har den stokastiske variabel en Fisher-Snedekor-fordeling med og frihedsgrader ( ): $X_{1}$ $n$ $X_{2}$ $m$ $F={\frac {X_{1}/n}{X_{2}/m}}$ $n$ $m$ $t_{n}$

$F={\frac {\chi _{n}^{2}/n}{\chi _{m}^{2}/m))\sim {\mathrm {F))_{{n;m} }$

Hvis , så . $m\højrepil\infty$ $F_{{n;m}}={\frac {\chi _{n}^{2}/n}{\chi _{m}^{2}/m}}\højrepil \chi _{n}^ {2}$
Hvis vi kvadrerer en stokastisk variabel, der har en Students fordeling med frihedsgrader, så vil den have en Fisher-Snedekor fordeling med og frihedsgrader: $m$ $en$ $m$

$(t_{m})^{2}=\venstre({\frac {{\mathcal {N))(0;1)}{{\sqrt ({\frac {\chi _{m}^{2} }{m))))))\right)^{2}={\frac ({\bigl (}{\mathcal {N))(0;1){\bigr )}^{2)){\ venstre({\sqrt {{\frac {\chi _{m}^{2}}{m))))\right)^{2}}}={\frac {\chi _{1}^{2 }}{\chi _{m}^{2}/m}}={\frac {\chi _{1}^{2}/1}{\chi _{m}^{2}/m}} \sim {\mathrm {F}}_{{1;m}}$

Sandsynlighedsteori

Lade være en endimensionel tilfældig variabel . Så vil følgende udsagn om antallet af frihedsgrader være sande : $X_{i}$

En stokastisk variabel fordeles i henhold til loven med frihedsgrader (i dette tilfælde ofte ved hjælp af stikprøvevarians ). $S^{2}={\frac {\sum \limits _{i}(X_{i}-{\bar X})^{2}}{n-1}}$ $\chi ^{2}$ $(n-1)$ $S^{2}$ ${\hat \sigma }^{2}$
Ud fra ovenstående notation kan der argumenteres for, at den stokastiske variabel har en Students fordeling med frihedsgrader ( ) . ${\frac {X-{\bar X}}{{\sqrt {{\frac {S^{2}}{n}}}}}}$ $n-1$ ${\displaystyle t_{n-1))$
Den stokastiske variabel er fordelt efter loven med frihedsgrader. ${\frac {X-{\mathbb {E}}(X)}{{\sqrt {{\frac {{\hat \sigma }^{2}}{n}}}}}}$ $\chi ^{2}$ $n$
Den stokastiske variabel er fordelt efter standard normalloven ( ), hvor er den stokastiske variabels sande varians . ${\frac {X-{\mathbb {E}}(X)}{{\sqrt {{\frac {\sigma _{X}^{2}}{n}}}}}}$ ${\mathcal {N}}(0;1)$ $\sigma _{X}^{2}$ $x$

Udskiftning af en tilfældig variabel med dens sande matematiske forventning giver en stigning på én frihedsgrad af følgende årsag. Overvej en tilfældig variabel . Næste ,. Derfor er der stykker af afhængige stokastiske variable. Derfor er mængderne uafhængige, derfor er der i formlen med i tælleren én frihedsgrad mindre end i formlen med ægte matematisk forventning. ${\bar X}(X_{1};\ldots ;X_{n})$ $\xi _{k}=X_{k}-{\bar X}$ $\sum \limits _{{i=1}}^{n}\xi _{i}=\sum \limits _{{i=1}}^{n}(X_{i}-{\bar X} )=\sum \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}-\sum \limits _{{i=1}}^{n}{\bar X}=n{\bar X }-n{\bar X}=0$ $n$ $n-1$ $\bar X$

Regressionsanalyse

I regressionsanalyse , ved hjælp af mindste kvadraters metode , sammenlignes observationerne med de beregnede værdier (opnået fra regressionsligningen). Hvis er det aritmetiske gennemsnit af alle observationer, så finder ligheden sted i overensstemmelse med den multivariate Pythagoras sætning : $Y_{i}$ ${\hat Y}_{i}$ ${\bar Y}$

$\underbrace {\sum \limits _{i}(Y_{i}-{\bar Y})^{2}}_{{TSS}}=\underbrace {\sum \limits _{i}({\hat Y}_{i}-{\bar Y})^{2}}_{{ESS}}+\underbrace {\sum \limits _{i}(Y_{i}-{\hat Y})^{ 2}}_{{RSS}}$

Samtidig fordeles (Total Sum of Squares) som med frihedsgrader, (Estimeret Sum af Squares; ikke at forveksle med Error!) er fordelt som med en frihedsgrad, (Residual Sum of Squares; ikke at være forveksles med regression!) er fordelt som med frihedsgrader . $TSS$ $\chi ^{2}$ $(n-1)$ $ESS$ $\chi ^{2}$ $RSS$ $\chi ^{2}$ $(n-2)$