Symplektisk manifold

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 19. september 2022; verifikation kræver 1 redigering .

En symplektisk manifold er en manifold med en symplektisk form defineret på den , det vil sige en lukket ikke- degenereret differentiel 2-form .

Det vigtigste eksempel på en symplektisk manifold er cotangensbundtet . Den symplektiske struktur gør det muligt at introducere Hamiltons mekanik på en naturlig geometrisk måde og giver en visuel fortolkning af mange af dens egenskaber: hvis er konfigurationsrummet for et mekanisk system, så svarer faserummet til det . $T^{*}M$ $M$ $T^{*}M$

Definition

En differentiel 2-form kaldes en symplektisk struktur, hvis den er ikke-degenereret og lukket , dvs. dens eksterne afledte er lig med nul, $\omega$

d\omega =0,

og for enhver ikke-nul tangentvektor er der en vektor sådan, at $v\in T_{x}M$ $w\in T_{x}M$

\omega (v,w)\neq 0.

En manifold med en symbolsk form angivet på kaldes en symplektisk manifold . $M$

Noter

Det følger af definitionen, at en symplektisk manifold har en jævn dimension.
Hvis dimensionen er , svarer formlens ikke-degeneration til betingelsen . $M$ $2n$ $\omega$ $\omega ^{\wedge n}\neq 0$

Relaterede definitioner

En diffeomorfisme af symplektiske manifolder kaldes en symplektomorfisme , hvis den bevarer den symplektiske struktur. $f\kolon M\til N$

Lad være en vilkårlig glat funktion på en symplektisk manifold. Den symbolske form forbinder funktionen med et vektorfelt defineret af følgende identitet: $H\colon M\to \mathbb {R}$ $H$ $V_{H}$ $dH(X)=\omega (V_{H},X).$
- Denne definition er analog med definitionen af en gradient og kaldes nogle gange funktionens symplektiske gradient . $V_{H}$ $H$
- Et felt , der kan opnås på denne måde, kaldes en Hamiltonian . $V_{H}$
- Da formen er ikke-degenereret, er vektorfeltet entydigt defineret. I Darboux-koordinater tager dette kort formen $\omega$ $V_{H}$
${\dot {{\mathbf q}}}={\frac {\partial H}{\partial {\mathbf p}}},\quad {\dot {{\mathbf p}}}=-{\frac { \partial H}{\partial {\mathbf q}}},$

svarende til Hamiltons ligninger , og kaldes Hamiltonian (Hamilton-funktion).

H

Poisson-parenteserne forvandler sættet af Hamiltonians til en Lie-algebra og er defineret af reglen $M$

[F,G]=\omega (V_{F},V_{G}).

Egenskaber

Darboux' sætning : Alle symplektiske manifolder er lokalt symplektomorfe. I et kvarter til et hvilket som helst punkt i manifolden kan man således vælge koordinater, kaldet Darboux-koordinater , hvori den symbolske form har formen $\omega =d{\mathbf p}\wedge d{\mathbf q}$

I dette tilfælde vælges Darboux-grundlaget i tangentrummet for hvert punkt i det pågældende kvarter .

Det Hamiltonske faseflow bevarer den symplektiske struktur (følger af Cartan-formlen): ${\mathcal {L}}_{V_{H}}\,\omega =0$

Her er Lie afledt med hensyn til vektorfeltet . Den Hamiltonske fasestrøm er således en symplektomorfisme.

{\mathcal {L}}_{V_{H}}

V_{H}

Især, da volumenformen er tændt , får vi Liouville-sætningen om bevarelsen af fasevolumenet : $\omega ^{{\wedge n}}$ $M$ ${\mathcal {L}}_{V_{H}}\omega ^{\wedge n}=0.$

Kontaktstruktur

Enhver symplektisk -dimensionel manifold er kanonisk forbundet med en - dimensional kontaktmanifold , kaldet dens kontaktisering . Omvendt eksisterer der for enhver -dimensionel kontaktmanifold dens symbolisering , som er en -dimensionel manifold. $2n$ $(2n+1)$ $(2n+1)$ $(2n+2)$

Variationer og generaliseringer

En manifold kaldes multisymplektisk grad, hvis der er givet en lukket ikke-degenereret differentiel k -form på den . $k$

Se også

Symplektisk rum

Litteratur

Arnold VI Klassisk mekaniks matematiske metoder. - 5. udg., stereotypisk. - M. : Redaktionel URSS, 2003. - 416 s. - 1500 eksemplarer. — ISBN 5-354-00341-5 .
Arnold V. I., Givental A. B. Symplektisk geometri. 2. udg. - Izhevsk: RHD, 2000. - 168s.
Thirring V. Kursus i matematisk og teoretisk fysik. - K . : TIMPANI, 2004. - 1040 s.
Fomenko A. T. Symplektisk geometri. Metoder og anvendelser. - M. : Red. Moscow State University, 1988. - 414s.