Symmetrisk polynomium

Et symmetrisk polynomium er et polynomium i variabler , der ikke ændres med alle permutationer af dets bestanddele . Så for et polynomium af to variable betyder dette ; eksempler på symmetriske to-variable polynomier er , og . $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $n$ $x_{i}$ $f(x,y)$ $f(x,y)=f(y,x)$ $x+y$ $xy$ $x^{2}+y^{2}$

Grundlæggende typer

Ofte bruges flere sekvenser af polynomier ( det -. polynomium er i variabler), sådan at de foregående opnås fra følgende ved at substituere nuller i ekstra variable: $f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $n$ $n$

f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n-1},0)=f_{n-1}(x_{1},\ldots ,x_{n-1})

Derfor er sådanne polynomier angivet uden at angive antallet af variable: eller , hvor er ikke et indeks inde i en sekvens, men en måde at nummerere sådanne sekvenser på. For eksempel er potenssummer af en grad polynomier $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $f_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $k$ $p_{k}$ $k$

p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}=x_{1}^{k }+\ldots +x_{n}^{k}

Nogle gange er det praktisk at specificere disse sekvenser af symmetriske polynomier ved hjælp af genererende funktioner : for en sekvens af symmetriske polynomier er en sådan genererende funktion en potensrække $f_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})$

F(t;x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{k}f_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{k}

fra variabler. For eksempel er elementære (eller grundlæggende) symmetriske gradspolynomier summer af alle mulige gradmonomier uden gentagne variable; de er givet ved formlen $(n+1)$ ${\displaystyle \sigma _{k))$ $k$ $k$

\sigma _{k}(x_{1},\ldots,x_{n})=\sum _{1\leq j_{1}<\ldots <j_{k}\leq n}x_{j_ {1}}\cdot \ldots \cdot x_{j_{k}}

eller genererende funktion

\Sigma (t;x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{k=0}^{\infty }\sigma _{k}(x_{1},\ldots, x_{n})t^{k}=(1+tx_{1})\cdot \ldots \cdot (1+tx_{n})

I særdeleshed,

{\begin{array}{rcl}\sigma _{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&x_{1}+x_{2}+\ cdots +x_{n}\\\sigma _{2}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})&=&{x_{1}}{x_{2}}+{ x_{1}}{x_{3}}+\cdots +{x_{n-1}}{x_{n}}\\&\cdots &\\\sigma _{n-1}(x_{1} ,x_{2},\ldots ,x_{n})&=&{x_{1}}{x_{2}}\ldots {x_{n-1}}+{x_{1}}{x_{2 }}\ldots {x_{n-2}}{x_{n}}+\cdots +{x_{2}}{x_{3}}\ldots {x_{n}}\\\sigma _{n} (x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})&=&{x_{1}}{x_{2}}\ldots {x_{n}}\\\end{array}}

Polynomiet antages lig med , og polynomier på er lig med . $\sigma _{0}$ $en$ ${\displaystyle \sigma _{k))$ $k>n$ $0$

Et andet eksempel, komplette symmetriske polynomier af grad er summen af alle monomer af grad , uden begrænsning på gentagelser af variable; de er givet ved formlen ${\displaystyle h_{k))$ $k$ $k$

h_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i_{1}+\ldots +i_{n}=k}x_{1}^{i_{1 }}\cdot \ldots \cdot x_{n}^{i_{n}}

eller genererende funktion

H(t;x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{k=0}^{\infty }h_{k}(x_{1},\ldots,x_{n })t^{k}=(1-tx_{1})^{-1}\cdot \ldots \cdot (1-tx_{n})^{-1}

Vigtige for teorien om repræsentationer af symmetriske grupper er Schur-polynomier - symmetriske polynomier parametriseret af partitioner til en sum af ikke-negative naturlige tal. Schur-polynomiet af grad svarende til partitionen er [1] $d$ $d=d_1+\dots+d_n, \quad d_1\ge \dots\ge d_n\ge 0,$

s_{(d_{1},\dots,d_{n})}(x_{1},\dots,x_{n})={\frac {\det(x_{i}^{d_{ j}+nj})_{i,j=1}^{n}}{\det(x_{i}^{nj})_{i,j=1}^{n}}}

Et andet eksempel er det diskriminerende polynomium

{\displaystyle D(f)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2))

hvor er rødderne til et polynomium i en variabel: . $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ ${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n))$

Fundamental sætning for teorien om symmetriske polynomier

Grundsætningen i teorien om symmetriske polynomier siger, at ethvert symmetrisk polynomium kan udtrykkes på en unik måde som et polynomium i elementære symmetriske polynomier. Med andre ord, for ethvert symmetrisk polynomiumeksisterer der et (normalt ikke-symmetrisk) polynomium, således at $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $g(y_{1},\ldots ,y_{n})$

f(x_{1},\ldots ,x_{n})=g(\sigma _{1}(x_{1},\ldots,x_{n}),\ldots ,\sigma _{n }(x_{1},\ldots ,x_{n}))

det vil sige, at de er lige store polynomier i , og et sådant polynomium er unikt. $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $g(y_{1},\ldots ,y_{n})$

Med andre ord er de elementære symmetriske polynomier algebraisk uafhængige og danner grundlag for algebraen af symmetriske funktioner : ringen af symmetriske funktioner er isomorf til ringen ${\displaystyle k[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]^{S))$ $k[\sigma _{1},\sigma _{2},\ldots ,\sigma _{n}]$

En lignende sætning gælder også for komplette symmetriske polynomier.

Determinantformler

De genererende formler for elementære og komplette symmetriske polynomier er forbundet med relationer , som udvides til formler $\Sigma (t)\cdot H(-t)=1$

\sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}\sigma _{r}h_{nr}=0\quad (n>1)

som udtrykker de elementære symmetriske polynomier i form af de foregående elementære og i form af alle de komplette. Den endelige formel ser ud som [2]

\sigma _{k}={\begin{vmatrix}h_{1}&1&0&\ldots &0\\h_{2}&h_{1}&1&\ldots &0\\\ldots &\ldots &\ldots &\ ldots &\ldots \\h_{k-1}&h_{k-2}&h_{k-3}&\ldots &1\\h_{k}&h_{k-1}&h_{k-2}&\ldots &h_ {1}\end{vmatrix}}

;

en lignende formel til at udtrykke totalen i form af symmetriske opnås ved substitution og uden andre ændringer. $\sigma$ $h$

Se også

Noter