Symmetrisk funktion

En symmetrisk funktion af n variable er en funktion, hvis værdi på en hvilken som helst n - tupel af argumenter er den samme som værdien på enhver permutation af denne n -tupel [1] . Hvis for eksempel , funktionen kan være symmetrisk på alle variabler eller par , eller . Selvom det kan henvise til alle funktioner, for hvilke n argumenter har samme domæne, refererer det oftest til polynomier , som i dette tilfælde er symmetriske polynomier . Uden for polynomier er teorien om symmetriske funktioner dårlig og lidt brugt. Også det nøjagtige antal variabler er normalt ikke vigtigt, det menes, at der simpelthen er ret mange af dem. For at gøre denne idé mere stringent, bruges den projektive grænse til at gå til den såkaldte ring af symmetriske funktioner , som formelt indeholder et uendeligt antal variable. $f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},x_{3})$ $(x_{1},x_{2})$ $(x_{2},x_{3})$ $(x_{1},x_{3})$ $\lambda$

Symmetriisering

Givet enhver funktion f af n variable med værdier i en abelsk gruppe (det vil sige i en gruppe med en kommutativ operation), kan en symmetrisk funktion konstrueres ved at summere værdierne af f over alle permutationer af argumenterne. På samme måde kan den antisymmetriske funktion konstrueres som summen over alle lige permutationer , hvorfra summen over alle ulige permutationer trækkes fra. Disse operationer er naturligvis irreversible og kan føre til en identisk nul-funktion for en ikke-trivial funktion f . Det eneste tilfælde, hvor f kan genfindes, når funktionens symmetriisering og antisymmetriisering er kendt, er når n = 2 og den abelske gruppe kan divideres med 2 (det omvendte af fordobling). I dette tilfælde er f lig med halvdelen af summen af symmetriisering og antisymmetrisering.

Ring af symmetriske funktioner

Overvej virkningen af en symmetrisk gruppe på en polynomial ring i n variable. Det virker ved at permutere variabler. Som nævnt ovenfor er symmetriske polynomier nøjagtigt dem, der ikke ændres under påvirkning af elementerne i denne gruppe. Således danner de en underring: ${\displaystyle S_{n))$ $\mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n}]$

\Lambda _{n}=\mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n}]^{S_{n))

Til gengæld er en graderet ring : $\Lambda _{n}$

{\displaystyle \Lambda _{n}=\bigoplus _{k\geq 0}\Lambda _{n}^{k))

, hvor består af homogene symmetriske polynomier af grad k , samt et nulpolynomium.

{\displaystyle \Lambda _{n}^{k))

Dernæst, ved hjælp af den projektive grænse definerer vi ringen af symmetriske funktioner af grad k :

{\displaystyle \Lambda ^{k}=\varprojlim _{n}\Lambda _{n}^{k))

Til sidst får vi en graderet ring , som kaldes ringen af symmetriske funktioner. ${\displaystyle \Lambda =\bigoplus _{k\geq 0}\Lambda ^{k))$

Bemærkninger.

$\lambda$ er ikke en projektiv grænse (i kategorien ringe). For eksempel er et uendeligt produkt ikke indeholdt i , fordi indeholder monomialer af vilkårlig høj grad. ${\displaystyle \Lambda _{k))$ $\prod _{j=1}^{\infty }(1+x_{j})$ $\lambda$
"Determinant" har heller ingen ækvivalent i . ${\displaystyle (\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j))^{2))$ $\lambda$

Baser i rummet af symmetriske funktioner

Monomial basis. For hver partition definerer vi et monomial . Det er ikke et symmetrisk polynomium og indeholder også kun et begrænset antal variabler, der indtaster det med ikke-nul grad. Lad os nu summere mængden af monomer opnået fra det ved alle mulige permutationer af indekser (hvert monomial summeres kun én gang, selvom det kan opnås ved hjælp af flere forskellige permutationer): . Det er let at forstå, at sådanne, der danner et grundlag , og derfor alle danner et grundlag , som kaldes monomial. $\lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots )$ $x^{\lambda }=x_{1}^{\lambda _{1}}x_{2}^{\lambda _{2}}\dots$ ${\displaystyle x_{\alpha }^{\lambda ))$ $\alfa$ ${\displaystyle m_{\lambda }=\sum _{\alpha }x_{\alpha }^{\lambda ))$ ${\displaystyle m_{\lambda ))$ $|\lambda |=n$ ${\displaystyle \Lambda ^{n))$ ${\displaystyle m_{\lambda ))$ $\lambda$

Elementære symmetriske funktioner. For hvert heltal definerer vi — summen af alle mulige produkter fra r forskellige variable. Altså for : $r\geq 0$ ${\displaystyle e_{r))$ $e_{0}=1$ $r\geq 1$

e_{r}=\sum _{i_{1}<i_{2}<\dots <i_{r}}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\dots x_{i_{ r}}=m_{(1^{r})}

For hver partition er den elementære symmetriske funktion De danner et grundlag i rummet .

\lambda

e_{\lambda }=e_{\lambda _{1}}e_{\lambda _{2}}\dots

\lambda

Fuldfør symmetriske funktioner. For hvert heltal definerer vi — summen af alle monomiale funktioner af grad r . Altså for : $r\geq 0$ ${\displaystyle h_{r))$ $h_{0}=1$ $r\geq 1$

{\displaystyle h_{r}=\sum _{|\lambda |=r}m_{\lambda ))

Yderligere, som i tilfældet med elementære funktioner, sætter vi

h_{\lambda }=h_{\lambda _{1}}h_{\lambda _{2}}\dots

Strøm summer. For hver kaldes effektsummen . $r\geq 1$ ${\displaystyle p_{r}=\sum _{i\geq 1}^{\infty }x_{i}^{r}=m_{(r)))$

For partitionering er effektsummen defineret som $\lambda$ $p_{\lambda }=p_{\lambda _{1}}p_{\lambda _{2}}\dots$

Identiteter.

$\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{i}h_{ki}=0=\sum _{i=0}^{k}(-1) ^{i}h_{i}e_{ki}$ , for alle k > 0 ,
${\displaystyle ke_{k}=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}p_{i}e_{ki))$ , for alle k > 0 ,
${\displaystyle kh_{k}=\sum _{i=1}^{k}p_{i}h_{ki))$ , for alle k > 0 .

Relationer til generering af funktioner.

Det er nemt at vise det $E(t)=\sum _{r\geq 0}e_{r}t^{r}=\prod _{i\geq 1}(1+x_{i}t)$

Også $H(t)=\sum _{r\geq 0}h_{r}t^{r}=\prod _{i\geq 1}(1-x_{i}t)^{-1}$

Heraf følger forholdet $H(t)E(-t)=1$

Endelig ,. $P(t)=\sum _{r\geq 1}p_{r}t^{r-1}=\sum _{i\geq 1}\sum _{r\geq 1}x_{i }^{r}t^{r-1}=\sum _{i\geq 1}{\frac {x_{i}}{1-x_{i}t}}=\sum _{i\geq 1 }{\frac {d}{dt}}ln{\frac {1}{1-x_{i}t}}={\frac {d}{dt}}ln\prod _{i\geq 1}( 1-x_{i}t)^{-1}={\frac {d}{dt}}lnH(t)={\frac {H'(t)}{H(t)))$

Vi får tilsvarende . $P(-t)={\frac {d}{dt}}lnE(t)={\frac {E'(t)}{E(t)))$

Schur funktioner . Lad der være et begrænset antal variableog en partitionsådan(længden af partitionen overstiger ikke antallet af variable). Så er Schur-polynomiet for en partitioni n variableet homogent symmetrisk gradspolynomium. Atkonvergerer disse polynomier til et enkelt element, kaldet Schur-partitionsfunktionen. ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n))$ $\lambda$ $l(\lambda )\leq n$ $\lambda$ $s_{\lambda }(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})={\frac {det(x_{i}^{\lambda _{j}+nj}) _{1\leq i,j\leq n}}{det(x_{i}^{nj})_{1\leq i,j\leq n}}}$ $|\lambda |$ $n\højrepil \infty$ $s_{\lambda }\in \Lambda$ $\lambda$

Jacks funktioner . Med introduktionen af et særligt skalært produkter der en generalisering af Schur-funktionerne, der bevarer mange af deres egenskaber. $\lambda$

Ansøgninger

U-statistik

I statistik giver en n -stikprøvestatistik (en funktion af n variable) opnået ved at bootstrapsymmetriske en statistik på en stikprøve af k elementer en symmetrisk funktion af n variable, kaldet U-statistikken . Eksempler omfatter prøvegennemsnittet og prøvevariansen .

Se også

Elementære symmetriske polynomier
Kvasi-symmetrisk funktion
Ring af symmetriske funktioner

Noter

↑ Van der Waerden, 1979 , s. 121.

Litteratur

Macdonald IG Symmetriske funktioner og ortogonale polynomier. New Brunswick, New Jersey. University Lecture Series, 12. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1998. xvi+53 pp. ISBN 0-8218-0770-6 MR : 1488699
Macdonald IG Symmetriske funktioner og hallpolynomier. anden version. Oxford matematiske monografier. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 s. ISBN 0-19-853489-2 1. udgave (ubestemt) . - 1979.
McDonald I. Symmetriske funktioner og Hall-polynomier. -Mir, 1984. - 224 s.
David FN, Kendall MG , Barton DE Symmetrisk funktion og allierede tabeller. - Cambridge University Press , 1966.
Joseph PS Kung, Gian-Carlo Rota, Catherine H. Yan. Combinatorics: The Rota Way. – Cambridge University Press, 2009. – xii+396 s. - ISBN 978-0-521-73794-4 .
— §5.1 Symmetriske funktioner, s. 222-225.
— §5.7. Symmetriske funktioner over endelige felter, s. 259-270.
Van der Waerden B. L. Algebra. - M . : "Nauka", 1979.
- §33. Symmetriske funktioner, s. 121.