Schur polynomier

Schur -polynomier er symmetriske polynomier i variabler af en speciel form, opkaldt efter I. Schur , parametriseret af partitioner af ikke-negative heltal til en sum af uordnede led, eller, som er det samme, af Young-diagrammer med ikke mere end kolonner. Koefficienterne for deres tildeling som polynomier i Newtons elementære symmetriske polynomier er relateret til værdierne af tegnene i de tilsvarende repræsentationer af den symmetriske gruppe . $n$ $n$ $n$ $S_{n}$

Formel definition

Schur-polynomiet svarende til partitionen er [1] $\lambda ,$

s_{\lambda }(x_{1},\dots,x_{n})={\frac {\det(x_{i}^{\lambda _{j}+nj})_{i, j=1}^{n}}{\det(x_{i}^{nj})_{i,j=1}^{n}}}.

Der er også formler, der udtrykker Schur-polynomier i form af elementære symmetriske polynomier og komplette symmetriske polynomier : ${\displaystyle e_{r))$ ${\displaystyle h_{r))$

s_{\lambda }(x_{1},\dots ,x_{n})=det(h_{\lambda _{i}-i+j})_{1\leq i,j\leq n }

, hvor ,

n\geq l(\lambda )

s_{\lambda }(x_{1},\dots,x_{n})=det(e_{\lambda '_{i}-i+j})_{1\leq i,j\leq m}

, hvor er partitionen konjugat til , og også .

\lambda '

\lambda

m\geq l(\lambda ')

Især og . $s_{(n)}=h_{n}$ $s_{(1^{n})}=e_{n}$

Forbindelse med repræsentationer af den symmetriske gruppe

Schur-polynomiet , svarende til Young-diagrammet , er udtrykt i form af Newtons elementære symmetriske polynomier med koefficienter udtrykt i form af tegnværdier , svarende til repræsentationen af den symmetriske gruppe . Nemlig $s_{\lambda}(x_1,\dots,x_n)$ $\lambda=(\lambda_1,\prikker,\lambda_n)$ $p_k(x_1,\dots,x_n)=\sum_j x_j^k$ $\chi_{\lambda}$ $\lambda$ $S_{n}$

s_\lambda=\sum_{\rho=(1^{r_1},2^{r_2},3^{r_3},\dots)}\chi^\lambda (\rho) \cdot \prod_k \frac{p ^{r_k}_k}{r_k!},

hvor notationen betyder, at der i konjugationsklassen er længdecyklusser i udvidelsen af substitutionen til usammenhængende cyklusser . $\rho=(1^{r_1},2^{r_2},3^{r_3},\dots)$ $\rho$ $r_j$ $j$

Schur polynomier

Formel definition

Forbindelse med repræsentationer af den symmetriske gruppe

Links