Segment (geometri)

Et segment af en flad kurve er en flad (normalt konveks ) figur indesluttet mellem kurven og dens korde [1] .

Det enkleste og mest almindelige eksempel på et fladt kurvesegment er cirkelsegmentet .

Karakteristika

De vigtigste egenskaber ved et kurvesegment er dets bredde, højde, areal og kantlængde.

Cirkelsegment

Kordelængden af et cirkelsegment med radius og højde beregnes ved hjælp af Pythagoras sætning : $c$ $R$ $h$

c=2{\sqrt {R^{2}-(Rh)^{2}}}=2{\sqrt {2Rh-h^{2}}}

Arealet af et segment af en cirkel med radius baseret på den centrale vinkel (i radianer ) [2] : $S$ $R,$ $\tekststil\theta$

S = \frac {1}{2}R^2(\theta - \sin\theta)

Segment af en parabel

Archimedes i det 3. århundrede f.Kr e. bevist, at arealet af et segment af en parabel afskåret fra det med en lige linje er 4/3 af arealet af en trekant indskrevet i dette segment (se figur).

Ellipsesegment

Lad ellipsen være givet ved den kanoniske ligning:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1

Området af segmentet mellem buen, konveks til venstre, og den lodrette akkord , der passerer gennem et punkt med en abscisse , kan bestemmes af formlen [3] : $x,$

S={\frac {\pi ab}{2}}-{\frac {b}{a}}\venstre(x\,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+a ^{2}\arcsin {\frac {x}{a}}\right).

Andre typer flade segmenter

Opgaven med at finde arealet og buelængden af et vilkårligt segment kræver brug af metoder til integralregning , som historisk blev skabt til netop dette formål.

Område

For at beregne arealet af et segment er det oftest praktisk at vælge den tilsvarende akkord i kurven som x- aksen . Så er området af segmentet, det vil sige arealet under kurven, der skærer x-aksen i punkterne a og b , lig med: $y=f(x)$

S=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx

For eksempel beregnes arealet under den første bue af en sinusoide som et integral :

S=\int \limits _{0}^{\pi }{\sin xdx}=-\cos(\pi )+\cos(0)=2

Et andet eksempel: arealet af et segment (bue) af en cykloid genereret af en cirkel med radius er lig med , det vil sige tre gange arealet af den genererende cirkel [4] . $R,$ $3\pi R^{2},$

Buelængde

Længden af en vilkårlig kurve, inklusive buen af et segment, beregnes ved formlen

L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+\left(f'\left(x\right)\right)^{2}}}\,dx

For eksempel, for at beregne længden af den første bue af en sinusoid, er det nødvendigt at beregne det normale elliptiske Legendre-integral af 2. slags , som ikke tages eksplicit. Derfor, for at beregne sådanne integraler i dag, bruges numerisk integration normalt med det samme .

Noter

↑ Segment // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind). - M .: Soviet Encyclopedia , 1984. - T. 4. - S. 1100-1101.
↑ Elementær matematik, 1976 , s. 512.
↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics (for videnskabsmænd og ingeniører). - M. : Nauka, 1973. - S. 68. - 720 s.
↑ Alexandrova N. V. Historie om matematiske termer, begreber, notation: Ordbogsopslagsbog, red. 3 . - Sankt Petersborg. : LKI, 2008. - S. 213 . — 248 s. - ISBN 978-5-382-00839-4 .

Litteratur

Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementær matematik. Gentag kurset. - Tredje udgave, stereotypisk. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.