Afstand

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 20. juli 2022; checks kræver 4 redigeringer .

Afstand , i bred forstand, graden (mål) af afstanden mellem objekter fra hinanden.

Afstand er et grundlæggende begreb inden for geometri . Udtrykket bruges ofte i andre videnskaber og discipliner: astronomi , geografi , geodæsi , navigation og andre. I forskellige discipliner, som et udtryk, har det en anden definition, præsenteret nedenfor.

Afstand i matematik

Afstand i algebra

Indholdet af udtrykket "afstand" i algebra er forbundet med begrebet metrisk og metrisk rum .

Et sæt X kaldes et metrisk rum, hvis en sådan afbildning, kaldet en metrisk, X² til et sæt af ikke-negative tal er givet således, at for alle elementer a, b, c i mængden X de følgende aksiomer, kaldet Fréchet 's aksiomer, hold :

1) desuden er lighed opfyldt, hvis og kun hvis elementerne a og b er ens; $\rho (a;b)\geq 0$

2) ; $\rho (a;b)=\rho (b;a)$

3) . $\rho (a;b)\leq \rho (a;c)+\rho (c;b)$

For det tredje aksiom er et særligt tilfælde trekantens ulighed .

Afstand i mængden af reelle tal Introduktion af metrics

For mængden af alle reelle tal betragtes afstanden fra tallet a til tallet b af matematikere som tallet . $|ab|$

Det er let at se, at mængden af reelle tal med en given metrik er et metrisk rum.

Bevis

Den første betingelse er opfyldt, eftersom modulet af ethvert reelt tal fra definitionen er et ikke-negativt tal, desuden er modulus af tallet lig med nul, hvis og kun hvis udtrykket under modulet er lig med nul, hvorfra, hvis ligheden er opfyldt, så er tallene ens.

Den anden egenskab er sand, da fra egenskaberne for talmodulet :. $|ab|=|ba|$

Den tredje egenskab gælder, da egenskaben i sig selv er ækvivalent med , men , og summens modul overstiger altid ikke summen af modulerne. $|ab|\leq |ac|+|cb|$ $(ac)+(cb)=ab$

Afstand i sættet af par af reelle tal

Af de vigtigste metrikker i sættet af par af reelle tal (og i grafisk fortolkning - mængden af alle punkter i planet) skelnes to: Descartes - metrikken og Euklid- metrikken .

Descartes' metrisk Introduktion af metrics

For sættet af par af reelle tal er Descartes-metrikken givet:

$\rho ((a;b);(c;d))=|ac|+|bd|$ .

Lad os sikre os, at sættet af par af reelle tal (R²) med den introducerede Descartes-metrik er et metrisk rum.

Bevis

Den første egenskab gælder naturligvis, da summen af moduli, som hver er et ikke-negativt tal, også er et ikke-negativt tal. Desuden er lighed opfyldt, hvis og kun hvis begge udtryk under modulet er lig med nul, men så er de betragtede elementer-par i mængden også ens.

Den anden ejendom er opfyldt pga . $\rho ((a;b);(c;d))=|ac|+|bd|=|ca|+|db|=\rho ((c;d);(a;b))$

Lad os bevise den tredje egenskab:

Lad tre par reelle tal gives, (a; b), (c; d), (e; f). Så kan den krævede ulighed skrives i følgende form:

$|ac|+|bd|\leq |ax|+|by|+|xc|+|yd|$ . Denne ulighed er sand, hvilket følger af tilføjelsen af følgende to uligheder bevist tidligere:

$|ac|\leq |ax|+|xc|$ og . $|bd|\leq |by|+|yd|$

Euklids metrik Introduktion af metrics

For et sæt par af reelle tal er den euklidiske metrik givet:

${\displaystyle \rho ((a;b);(c;d))={\sqrt {(ac)^{2}+(bd)^{2))))$ .

Lad os verificere, at mængden R² med den introducerede euklidiske metrik er et metrisk rum.

Bevis

Den første egenskab gælder, fordi den aritmetiske rod af et ikke-negativt tal altid er ikke-negativt. Hvis lighed til nul på den anden side er opfyldt, så er begge udtryk i anden kvadrat lig med nul, hvorfra det nødvendige er indlysende.

Den anden ejendom er opfyldt pga . $\rho ((a;b);(c;d))={\sqrt {(ac)^{2}+(bd)^{2))}={\sqrt {(ca)^{ 2}+(db)^{2}}}=\rho ((c;d);(a;b))$

Lad os bevise den tredje egenskab:

Lad tre par reelle tal gives, (a; b), (c; d), (e; f). Så kan den krævede ulighed skrives i følgende form:

${\sqrt {(ac)^{2}+(bd)^{2}}}\leq {\sqrt {(ae)^{2}+(bf)^{2}}}+{\ sqrt {(ec)^{2}+(fd)^{2}}}$ . Efter at have kvadreret og transformeret dette udtryk kommer vi frem til følgende ulighed:

$(ae)(ec)+(bf)(fd)\leq {\sqrt {((ae)^{2}+(bf)^{2})((ec)^{2}+(fd )^{2})}}$ , hvilket er sandt, hvilket følger af Cauchy-Bunyakovsky-uligheden (med en passende ændring af forskelle i tal).

Afstand i geometri

I geometri er afstanden mellem figurer den mindst mulige længde af segmentet mellem et punkt, der tilhører den første figur, og et punkt, der tilhører den anden figur.

Afstand i teknologi

Afstanden mellem objekter er længden af et lige linjestykke, der forbinder to objekter. Afstand i denne forstand er en fysisk størrelse med længdens dimension, afstandsværdien er udtrykt i længdeenheder.

Afstand i fysik

Afstand
s
Enheder
SI	m
GHS	cm

I fysik måles afstand i længdeenheder , hvilket i de fleste målesystemer er en af de grundlæggende måleenheder . I det internationale system af enheder (SI) er længdeenheden meteren . Afstand kaldes også længden af den vej, som et objekt tilbagelægger. I dette tilfælde er den afledte af afstanden (radiusvektor) med hensyn til tid hastigheden .

Andre anvendelser

I proxemics bruges begrebet afstand til at beskrive en persons personlige rum.

Se også

Noter

Litteratur

Zenith distance // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.