Dedekind psi-funktion

Dedekind psi-funktionen er en multiplikativ funktion defineret på positive heltal som

\psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right),

hvor produktet overtages alle primtal p, der dividerer n (efter konvention er ψ(1) det tomme produkt af , og har derfor værdien 1). Funktionen blev foreslået af Richard Dedekind i forhold til modulære funktioner .

Værdien af funktionen ψ( n ) for de første par heltal n :

1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24... (sekvens A001615 i OEIS ).

Værdien af funktionen ψ( n ) er større end n for alle n større end 1 og endda for alle n større end 2. Hvis n er firkantfri , så er ψ( n ) = σ( n ) .

Funktionen ψ kan defineres ved at sætte p for potenser af et primtal og derefter udvide denne definition til alle heltal i henhold til multiplikativitet. Dette fører til et bevis for den genererende funktion i form af Riemann zeta-funktionen , som er ${\displaystyle \psi (p^{n})=(p+1)p^{n-1))$

\sum {\frac {\psi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\zeta (2s))).

Det er også en konsekvens af, at vi kan skrive det som en Dirichlet-fold . $\psi =\mathrm {Id} *|\mu |$

Høje ordrer

Generalisering til høje ordrer via Jordan Totient

\psi _{k}(n)={\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)))

nær Dirichlet

{\displaystyle \sum _{n\geqslant 1}{\frac {\psi _{k}(n)}{n^{s))}={\frac {\zeta (s)\zeta (sk)} {\zeta (2s))))

Det er også Dirichlet-konvolutionen af potenser og kvadrater af Möbius-funktionen ,

\psi _{k}(n)=n^{k}*\mu ^{2}(n)

Hvis en

\epsilon _{2}=1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0\ldots

er den karakteristiske funktion af kvadrater, fører en anden Dirichlet-foldning til en generaliseret σ-funktion ,

\epsilon _{2}(n)*\psi _{k}(n)=\sigma _{k}(n)

Noter

Litteratur

Goro Shimura . Introduktion til den aritmetiske teori om automorfe funktioner. - Princeton, 1971. - S. 25, ligning (1).
Carella NA Firkantfrie heltal og ekstreme værdier af nogle aritmetiske funktioner. – 2010.
Richard J. Mathar. Oversigt over Dirichlet-rækken af multiplikative aritmetiske funktioner. — 2011. Afsnit 3.13.2
A065958 er ψ 2 , A065959 er ψ 3 , og A065960 er ψ 4

Dedekind psi-funktion

Høje ordrer

Noter

Litteratur

Links