Tilstandsrum (kontrolteori)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 26. juni 2016; checks kræver 10 redigeringer .

Tilstandsrummet er en af de vigtigste metoder til at beskrive adfærden af et dynamisk system i kontrolteori . Systemets bevægelse i tilstandsrummet afspejler ændringen i dets tilstande .

Definition

Tilstandsrummet kaldes normalt faserummet i et dynamisk system , og bevægelsesbanen for det repræsenterende punkt i dette rum kaldes fasebanen . [B:1] [B:2] [A:1]

I tilstandsrummet skabes en model af et dynamisk system , herunder et sæt input-, output- og tilstandsvariabler , forbundet med differentialligninger af første orden, som er skrevet i matrixform . I modsætning til beskrivelse af overførselsfunktioner og andre frekvensdomænemetoder giver tilstandsrum dig mulighed for ikke kun at arbejde med lineære systemer og nul begyndelsesbetingelser. Derudover er det relativt nemt at arbejde med MIMO-systemer i statens rum .

Lineære kontinuerlige systemer

For et lineært system med input, output og tilstandsvariable er beskrivelsen: $s$ $q$ $n$

\dot{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t)

\mathbf{y}(t) = C(t) \mathbf{x}(t) + D(t) \mathbf{u}(t)

hvor

x(t) \in \mathbb{R}^n

; ; ;

y(t) \in \mathbb{R}^q

u(t) \in \mathbb{R}^p

\operatørnavn{dim}[A(\cdot)] = n \ gange n

, , , , :

\operatørnavn{dim}[B(\cdot)] = n \ gange s

\operatørnavn{dim}[C(\cdot)] = q \ gange n

\operatørnavn{dim}[D(\cdot)] = q \ gange s

\dot{\mathbf{x}}(t) := {d\mathbf{x}(t) \over dt}

x(\cdot)

er tilstandsvektoren , hvis elementer kaldes systemtilstande

y(\cdot)

er outputvektoren ,

u(\cdot)

er kontrolvektoren ,

A(\cdot)

er systemmatrixen ,

B(\cdot)

er kontrolmatrixen ,

C(\cdot)

er outputmatrixen,

D(\cdot)

er feedforward-matrixen .

Ofte er matrixen nul, hvilket betyder, at der ikke er nogen eksplicit feedforward i systemet . $D(\cdot)$

Diskrete systemer

For diskrete systemer er registreringen af ligninger i rummet ikke baseret på differentialligninger , men på differensligninger :

\mathbf{x}(nT + T) = A(nT) \mathbf{x}(nT) + B(nT) \mathbf{u}(nT)

\mathbf{y}(nT) = C(nT) \mathbf{x}(nT) + D(nT) \mathbf{u}(nT)

Ikke-lineære systemer

Et ikke-lineært dynamisk system af n. orden kan beskrives som et system af n ligninger af 1. orden:

\dot x_1=f_1(x_1(t);\ldots,x_n(t),u_1(t),\ldots,u_m(t))

\vprikker

\dot x_n=f_n(x_1(t);\ldots,x_n(t),u_1(t),\ldots,u_m(t))

eller i en mere kompakt form:

\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf{f}(t, \mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t))

\mathbf{y}(t) = \mathbf{h}(t, \mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t))

Den første ligning er tilstandsligningen , den anden er outputligningen .

Linearisering

I nogle tilfælde er det muligt at linearisere beskrivelsen af det dynamiske system i nærheden af driftspunktet . I steady state er følgende udtryk gyldigt for driftspunktet : $(\mathbf{\tilde x}, \mathbf{\tilde u})$ $(\mathbf{\tilde u}= const)$ $\mathbf{\tilde x}= const,$

\mathbf{\dot{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{\tilde x},\mathbf{\tilde u})=\mathbf{0}

Introduktion til notationen:

\delta\mathbf{u} = \mathbf{u}-\mathbf{\tilde u}

\delta\mathbf{x} = \mathbf{x}-\mathbf{\tilde x}

Udvidelsen af tilstandsligningen i en Taylor-serie , begrænset af de to første led, giver følgende udtryk: $\mathbf{f}(\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t))$

\mathbf{f}(\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t))\ca. \mathbf{f}(\mathbf{\tilde x}(t),\mathbf{\tilde u} (t)) + \frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf{x}} \delta \mathbf{x} + \frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf{ u}} \delta \mathbf{u}

Når man tager partielle afledninger af vektorfunktionen med hensyn til vektoren af tilstandsvariable og vektoren for inputhandlinger , opnås de jakobiske matricer for de tilsvarende funktionssystemer : ${\mathbf {f}}$ $\mathbf {x}$ $\mathbf {u}$

{\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {x} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\\\vdots &\ddots & \vdots \\{\frac {\delta \mathbf {f_{n)) }{\delta \mathbf {x_{1)) }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{n)) }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\end{bmatrix}}\quad {\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {u} }}={\begin{bmatrix }{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\ delta \mathbf {u_{p)) }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {f_{n)) }{\delta \mathbf {u_{1)) } }&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{n)) }{\delta \mathbf {u_{p)) }}\end{bmatrix}}

Tilsvarende for udgangsfunktionen:

{\frac {\delta \mathbf {h} }{\delta \mathbf {x} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\\\vdots &\ddots & \vdots \\{\frac {\delta \mathbf {h_{q)) }{\delta \mathbf {x_{1)) }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{q)) }{\delta \mathbf {x_{n)) }}\end{bmatrix}}\quad {\frac {\delta \mathbf {h} }{\delta \mathbf {u} }}={\begin{bmatrix }{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\ delta \mathbf {u_{p)) }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {h_{q)) }{\delta \mathbf {u_{1)) } }&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{q)) }{\delta \mathbf {u_{p)) }}\end{bmatrix}}

Under hensyntagen til , vil den lineariserede beskrivelse af det dynamiske system i nærheden af driftspunktet have formen: $\delta \mathbf{\dot x}=\mathbf{\dot x}-\mathbf{\dot \tilde x}=\mathbf{\dot x}$

$\mathbf{\dot x}$	$=\mathbf{A}\delta \mathbf{x}+\mathbf{B} \delta \mathbf{u}$
$\delta \mathbf{y}$	$=\mathbf{C}\delta \mathbf{x}+\mathbf{D} \delta \mathbf{u}$

hvor

\mathbf{A}=\frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf{x}}\quad \mathbf{B}=\frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf {u}}\quad \mathbf{C}=\frac{\delta \mathbf{h}}{\delta \mathbf{x}}\quad \mathbf{D}=\frac{\delta \mathbf{h} }{\delta \mathbf{u}}

Eksempler

State-space-modellen for pendulet

Pendulet er et klassisk frit ikke-lineært system . Matematisk er pendulets bevægelse beskrevet af følgende forhold:

ml{\ddot {\theta }}(t)=-mg\sin \theta (t)-kl{\dot {\theta }}(t)

hvor

$\theta (t)$ er afbøjningsvinklen for pendulet.
$m$ er den reducerede masse af pendulet
$g$ - tyngdeacceleration
$k$ — friktionskoefficient i ophængslejet _
$l$ - pendul ophængslængde

I dette tilfælde vil ligningerne i tilstandsrummet se ud:

\dot{x_1}(t) = x_2(t)

\dot{x_2}(t) = - \frac{g}{l}\sin{x_1}(t) - \frac{k}{m}{x_2}(t)

hvor

$x_{1}(t):=\theta (t)$ - afbøjningsvinkel af pendulet
$x_2(t) :=\dot{x_1}(t)$ er pendulets vinkelhastighed
$\dot{x_2}(t) :=\ddot{x_1}(t)$ er pendulets vinkelacceleration

At skrive tilstandsligningerne i generel form:

\dot{\mathbf{x}}(t) = \left( \begin{matrix} \dot{x_1}(t) \\ \dot{x_2}(t) \end{matrix} \right) = \mathbf {f}(t, x(t)) = \venstre( \begin{matrix} x_2(t) \\ - \frac{g}{l}\sin{x_1}(t) - \frac{k}{ m}{x_2}(t) \end{matrix} \right)

Linearisering af pendulmodellen

Den lineariserede systemmatrix for pendulmodellen i nærheden af ligevægtspunktet har formen: $\venstre(\tilde x_1=0 \højre)$

\frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf{x}} = \left( \begin{matrix} 0&\ 1 \\ -\frac{g}{l}\cos{\tilde x_1} &\ - \frac{k}{m} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0&\ 1 \\ -\frac{g}{l}&\ - \frac{k} {m} \end{matrix} \right)

I fravær af friktion i suspensionen ( k = 0 ) får vi bevægelsesligningen for et matematisk pendul :

\ddot x = -\frac{g}{l}x

Se også

Kontrolteori
fase rum
Stabilitetskriterium i statens rum
Konceptrum
referencesystem
modal kontrol

Litteratur

Bøger

↑ Andronov A. A. , Leontovich E. A. , Gordon I. M. , Mayer A. G. Teori om bifurkationer af dynamiske systemer på et plan. - M . : Nauka, 1967.
↑ Andronov A. A. , Witt A. A. , Khaikin S. E. Theory of Oscillations. - 2. udg., revideret. og rettet - M . : Nauka, 1981. - 918 s.

Artikler

↑ Feigin M.I. Manifestation af bifurkationshukommelseseffekter i et dynamisk systems adfærd // Soros Educational Journal : Journal. - 2001. - T. 7 , nr. 3 . - S. 121-127 . Arkiveret fra originalen den 30. november 2007. (Russisk)

Tilstandsrum (kontrolteori)

Definition

Lineære kontinuerlige systemer

Diskrete systemer

Ikke-lineære systemer

Eksempler

State-space-modellen for pendulet

Linearisering af pendulmodellen

Se også

Litteratur

Links