Produkt af foranstaltninger

Produktet af mål i funktionel analyse , sandsynlighedsteori og relaterede discipliner er en formel måde at konstruere et mål på det kartesiske produkt af to rum med mål.

Bygning

Lad være to mellemrum med mål . Så er det kartesiske produkt af sættene og . $(X_{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mu _{i}),\;i=1,\;2$ ${\displaystyle X_{1}\ gange X_{2))$ $X_{1}$ $X_{2}$

${\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}$ er en familie af delmængder . Det er generelt set ikke lukket under tællelige fagforeninger , og er derfor ikke en -algebra . Lad os introducere notationen ${\displaystyle X_{1}\ gange X_{2))$ $\sigma$

{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}=\sigma ({\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F} } }_{2})

er den minimale -algebra, der indeholder . Så er der et målbart rum . Vi definerer et mål på det som følger: $\sigma$ ${\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}$ $(X_{1}\times X_{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2})$ $\mu _{1}\otimes \mu _{2}\colon {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}\to \mathbb {R}$

\mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\mu _{1}(A_{1})\cdot \mu _{2}(A_{2}),\quad \forall A=A_{1}\times A_{2}\in {\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}.

Derefter fortsætter det unikt fra til : $\mu _{1}\nogle gange \mu _{2}$ ${\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}$ ${\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}$

\mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\int \limits _{X_{2}}\mu _{1}(A_{x_{2}})\,\ mu _{2}(dx_{2}),\quad A\in {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}

eller

\mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\int \limits _{X_{1}}\mu _{2}(A_{x_{1}})\,\ mu _{1}(dx_{1}),

hvor

A_{x_{2}}=\{x_{1}\in X_{1}\mid (x_{1},\;x_{2})\in A)\}

er et afsnit langs , og

EN

x_{2}\in X_{2}

A_{x_{1}}=\{x_{2}\in X_{2}\mid (x_{1},\;x_{2})\in A)\}

- afsnit langs .

EN

x_{1}\in X_{1}

Det resulterende mål kaldes produktet af målene og . Målrummet kaldes det (direkte) produkt af de oprindelige mellemrum. $\mu _{1}\nogle gange \mu _{2}$ $\mu_{1}$ $\mu_{2}$ $(X_{1}\ gange X_{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\nogle gange {\mathcal {F}}_{2},\;\mu _{1}\nogle gange \ mu_{2})$

Noter

Hvis der er to sandsynlighedsrum , kaldes det deres produkt. $(\Omega _{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;{\mathbb {P}}_{i}),\;i=1,\;2$ $(\Omega _{1}\ gange \Omega _{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;{\mathbb {P }}_{1}\nogle gange {\mathbb {P}}_{2})$
Hvis er tilfældige variable , så er fordelingen på henholdsvis og , og er fordelingen på den tilfældige vektor . Hvis er uafhængige , så $X,\;Y\colon \Omega \to \mathbb {R}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X},\;\mathbb {P} ^{Y))$ $\mathbb {R}$ $x$ $Y$ $\mathbb {P} ^{X,\;Y}$ $\mathbb {R} ^{2}$ ${\displaystyle (X,\;Y)^{\top ))$ $X,\;Y$