Regelmæssig skæv polyeder

En regulær skæv polytop er en generalisering af sættet af regulære polytoper , der inkluderer muligheden for ikke-plane flader eller topformer . Coxeter overvejede skrå toppunktsfigurer, som skabte nye firedimensionelle regulære polyedre, og meget senere betragtede Branko Grünbaum regulære skrå ansigter. [en]

Beskrivelse af almindelige skæve polytoper

Almindelige skæve polyedre er ikke polyedre i sædvanlig forstand. Som Coxeter skriver i THE REGULAR SPONGES, OR SKEW POLYHEDRA (Regular sponges eller skew polyhedra), “Facefilling adskiller sig fra finite polyhedra ved, at for dem er begreberne indeni og yderside de samme. Sådanne fyldninger hjælper med at tænke på polyederet som en overflade snarere end en krop. For at få nye polyedre, skal du konstruere, så flere polygoner kan placeres i toppunktet, end det er tilladt af krystallografiske restriktioner (summen af ​​vinklerne ved toppunktet er mindre end )”. For at opnå denne effekt lod Petrie kanterne gå den anden vej fra planet, hvilket fører til svampe , dvs. overflader med åbne huller (hullet i et polyeder lukkes af hullet i et andet, så de alle danner en uendelig svamp ) [2] .

Historie

Ifølge Coxeter i 1926 generaliserede John Flinders Petrie begrebet rumlige polygoner (ikke-plane polygoner) [3] til regulære skæve polyedre .

Coxeter foreslog et modificeret Schläfli-symbol {l,m|n} for disse figurer, hvor {l,m} angiver en toppunktsfigur , m l-goner omkring toppunktet, og n er n - gonale huller. Deres toppunktsfigurer er rumpolygoner zigzag mellem to planer.

Regelmæssige skæve polytoper, repræsenteret ved symbolet {l,m|n}, opfylder ligheden:

2*cos(π/l)*cos(π/m)=cos(π/n)

Det første sæt {l, m | n} repræsenterer fem konvekse platoniske faste stoffer og et ikke-konveks Kepler-Poinsot fast stof :

{l, m | n} ansigter ribben Toppe s Polyeder Symmetrirækkefølge
_
{3,3| 3} = {3,3} fire 6 fire 0 Tetraeder 12
{3,4| 4} = {3,4} otte 12 6 0 Oktaeder 24
{4,3| 4} = {4,3} 6 12 otte 0 terning 24
{3,5| 5} = {3,5} tyve tredive 12 0 icosahedron 60
{5,3| 5} = {5,3} 12 tredive tyve 0 Dodekaeder 60
{5,5| 3} = {5,5/2} 12 tredive 12 fire Stort dodekaeder 60

Endelige regulære skæve polytoper i 4-dimensionelt rum

A4 projektioner af Coxeter flyet
{4, 6 | 3} {6, 4 | 3}
Rangeret 5-celler
(60 kanter, 20 hjørner) 		Dybt trunkeret 5-cellet
(60 kanter, 30 hjørner)
F4 projektioner af Coxeter flyet
{4, 8 | 3} {8, 4| 3}
Rangeret 24-celler
(576 kanter, 144 hjørner) 		Dybt afkortet 24-celler
(576 kanter, 288 hjørner)
Nogle af de 4-dimensionelle regulære skæve polyedre passer ind i ensartede polyedre, som vist i projektionerne.

Coxeter anførte også et stort antal endelige regulære polyedre i sit papir "regulære skæve polyedre i tre og fire dimensioner og deres topologiske analoger".

Ligesom uendelige skæve polytoper repræsenterer overfladen af ​​en manifold mellem cellerne i en konveks ensartet honeycomb , repræsenterer finite views overfladerne af en manifold i cellerne i en homogen 4-dimensionel polytop .

Polyedre af formen {2p, 2q | r} er relateret til Coxeter-gruppen af ​​symmetri [(p,r,q,r)], som reducerer til den lineære [r,p,r] for q lig med 2. Coxeter giver denne symmetri notationen [[( p , r , q , r )] + ], som ifølge ham er isomorf for hans abstrakte gruppe (2 p ,2 q |2, r ). Forbundne honningkager har udvidet symmetri [[( p , r , q , r ) ]] [4] .

{2p,4|r} er repræsenteret af {2p} flader af en dybt trunkeret {r,p,r} homogen 4-dimensional polyhedron , og {4,2p|r} er repræsenteret af firkantede flader af en høvlet {r, p,r} (rangeret).

{4,4|n} danner en n - n duoprisme , og især {4,4|4} passer ind i en {4}x{4} tesserakt .

{4,4| n} repræsenterer firkantede flader af duoprismer, med n- gonale flader som huller, og repræsenterer Clifford-torus og dobbeltcylindertilnærmelse {4,4|6} har 36 kvadratiske flader og i perspektiv ser projektionen ud som kvadrater udvalgt i en 6,6 dobbeltcylinder . En ring med 60 trekanter danner et regulært skævt polyeder i en delmængde af flader af en 600-celle .
Selv bestilte løsninger
{l, m | n} ansigter ribben Toppe s Struktur Symmetri Bestille Tilknyttet uniform 4-polytop
{4,4| 3} 9 atten 9 en D3xD3 _ _ _ [[3,2,3] + ] 9 3-3 duopris
{4,4| fire} 16 32 16 en D4xD4 _ _ _ [[4,2,4] + ] 16 4-4 duoprisme eller tesserakt
{4,4| 5} 25 halvtreds 25 en D5xD5 _ _ _ [[5,2,5] + ] 25 5-5 duopris
{4,4| 6} 36 72 36 en D6xD6 _ _ _ [[6,2,6] + ] 36 6-6 duopris
{4,4| n} n 2 2n 2 n 2 en DnxDn _ _ _ [[n,2,n] + ] n 2 nn duoprisme
{4,6| 3} tredive 60 tyve 6 S5 [[3,3,3] + ] 60 høvlet 5-cellet
{6,4| 3} tyve 60 tredive 6 S5 [[3,3,3] + ] 60 dybt trunkeret 5-celle
{4,8| 3} 288 576 144 73 [[3,4,3] + ] 576 høvlet 24-celler
{8,4| 3} 144 576 288 73 [[3,4,3] + ] 576 dybt afkortet 24-celle
Pentagram løsninger
{l, m | n} ansigter ribben Toppe s Struktur Symmetri Bestille Tilknyttet uniform 4-polytop
{4,5| 5} 90 180 72 ti A6 [[5/2,5,5/2] + ] 360 Planed great star 120-cell
{5,4| 5} 72 180 90 ti A6 [[5/2,5,5/2] + ] 360 Dybt afskåret stor stjerneformet 120-celle
{l, m | n} ansigter ribben Toppe s Struktur Bestille
{4,5| fire} 40 80 32 5 ? 160
{5,4| fire} 32 80 40 5 ? 160
{4,7| 3} 42 84 24 ti LF(2,7) 168
{7,4| 3} 24 84 42 ti LF(2,7) 168
{5,5| fire} 72 180 72 19 A6 360
{6,7| 3} 182 546 156 105 LF(2,13) 1092
{7,6| 3} 156 546 182 105 LF(2,13) 1092
{7,7| 3} 156 546 156 118 LF(2,13) 1092
{4,9| 3} 612 1224 272 171 LF(2,17) 2448
{9,4| 3} 272 1224 612 171 LF(2,17) 2448
{7,8| 3} 1536 5376 1344 1249 ? 10752
{8,7| 3} 1344 5376 1536 1249 ? 10752

Det sidste sæt er baseret på yderligere udvidede Coxeter-former {q1,m|q2,q3...} eller med q2 uspecificeret: {l, m |, q}.

{l, m|, q} ansigter ribben Toppe s Struktur Bestille
{3,6|,q} 2q2 _ 3q2 _ q2 _ en ? 2q2 _
{3,2q|,3} 2q2 _ 3q2 _ 3q (q-1)*(q-2)/2 ? 2q2 _
{3,7|,4} 56 84 24 3 LF(2,7) 168
{3,8|,4} 112 168 42 otte PGL(2,7) 336
{4,6|,3} 84 168 56 femten PGL(2,7) 336
{3,7|,6} 364 546 156 fjorten LF(2,13) 1092
{3,7|,7} 364 546 156 fjorten LF(2,13) 1092
{3,8|,5} 720 1080 270 46 ? 2160
{3,10|,4} 720 1080 216 73 ? 2160
{4,6|,2} 12 24 otte 3 S4 × S2 48
{5,6|,2} 24 60 tyve 9 A5 × S2 120
{3,11|,4} 2024 3036 552 231 LF(2,23) 6072
{3,7|,8} 3584 5376 1536 129 ? 10752
{3,9|,5} 12180 18270 4060 1016 LF(2,29)×A3 36540

Se også

Noter

  1. ↑ McMullen, Schulte, 2002 , s. 7, 17.
  2. ↑ Coxeter, 1995 , s. 20-22.
  3. ↑ I engelsk litteratur - skæv polygon, bogstaveligt talt - en skrå polygon . I russisk litteratur har begrebet rumlig polygon slået rod , og begrebet skævt polyhedron svarer til begrebet skævt polyeder ( skævt polyeder ). I denne artikel bruges både termer skæv polygon og skæv polyhedron i flæng.
  4. ↑ Coxeter, 1985 .

Litteratur