Semigitter

En semigittice ( eng. semilattice , begrebet semistruktur blev også brugt indtil 1960'erne ) generelt er algebra en semigruppe , hvor den binære operation er kommutativ og idempotent .

Med hensyn til ordensteori kan et halvgitter defineres som et delvist ordnet sæt , for hvert par af elementer, hvoraf en bedste øvre grænse ( øvre semilatice ) eller infimum ( nedre semilatice ) er defineret. Et sæt, der er både et øvre og et nedre semilatice, er et gitter .

Algebraiske definitioner

Et semilatice er aksiomatiseret som en algebra udstyret med en binær operation med følgende identiteter: $\langle V,\star \rangle$

$x\star x=x$ ( idempotens );
$(x\stjerne y)\stjerne z=x\stjerne (y\stjerne z)$ ( associativitet );
$x\star y=y\star x$ ( kommutativitet ).

Hvis algebraerne og er semilattiske, og deres operationer er forbundet med relationer (kaldet absorptionslove ): $\langle V,\vee \rangle$ $\langle V,\wedge \rangle$

$x\vee (x\wedge y)=x$ ,
$x\wedge (x\vee y)=x$ ,

så er algebraen et gitter . I denne sammenhæng kaldes det det øvre semi-gitter og det nederste . I de øvre semilattices er et øvre element indført således, at for alle elementer , i de nedre semilatices, et nedre element, således at , de semilatices, hvori sådanne elementer findes, kaldes bundet. $\langle V,\vee ,\wedge \rangle$ $\langle V,\vee \rangle$ $\langle V,\wedge \rangle$ $\top \in V$ $\top \vee x=\top$ $x \i V$ $\bot \in V$ $\bot \wedge x=\bot$

Delvis rækkefølge

En delrækkefølge i et algebraisk defineret semilattice kan introduceres som følger: hvis og kun hvis . Da en binær operation i et semilatice er idempotent , kommutativ og associativ, er rækkefølgen defineret på denne måde refleksiv ( ), antisymmetrisk ( og transitiv ( ). $(V,\wedge)$ $x\sqsubseteq y$ $x\wedge y=x$ $x\sqsubseteq x$ $(x\sqsubseteq y)\And (y\sqsubseteq x)\Rightarrow (x=y)$ $(x\sqsubseteq y)\And (y\sqsubseteq z)\Rightarrow (x\sqsubseteq z)$

Noter

Litteratur

Saliy V. N., Skornyakov L. A. . Kapitel V. Gitter // Generel Algebra / Udg. udg. L. A. Skonyakova . - M . : Science , 1991. - T. 2. - S. 192-294. - 480 s. — (Matematisk referencebibliotek). — 25.000 eksemplarer. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Davey, B.A.; Priestley, H. A. Introduktion til gitter og orden . - sekund. - Cambridge University Press , 2002. - ISBN 0-521-78451-4 .
Vickers, Steven Topologivia logik . -Cambridge University Press, 1989. -ISBN 0-521-36062-5.

Semigitter

Algebraiske definitioner

Delvis rækkefølge

Noter

Litteratur

Links