Komplet system af observerbare pendlere

Et komplet system af pendlende observerbare (PSKN) er et sæt af pendlende (pendlende) selvtilknyttede operatorer, der beskriver kvanteobservabler og definerer et generaliseret grundlag for rummet af rene tilstande i et kvantesystem . Dette koncept blev først foreslået af Dirac og er et af de grundlæggende begreber inden for kvantemekanik . De generaliserede egenværdier af PKN-operatorerne kaldes kvantetal .

Præcis definition

Et komplet system af observerbare pendlere er et sæt af selvtilgrænsende lineære operatorer , for hvilke følgende betingelser er opfyldt:

  1. Permutabilitet (kommutativitet): operatorerne og er permuterbare for alle i og j.
  2. Gensidig uafhængighed: ingen af ​​operatørerne er en funktion af de andre.
  3. Fuldstændighed: Enhver operatør, der kan ændres med alle operatører, er en funktion af disse operatører, det vil sige .

Fysisk betydning

For at definere et kvantesystem er det nødvendigt at beskrive egenskaberne af kvanteobservabler og konstruere et tilstandsrum . Egenskaberne for observerbare er givet ved kommuteringsrelationer for selvadjointende operatorer, der beskriver kvanteobservabler. Hvis kvante observerbare er beskrevet af afgrænsede operatorer , så ifølge Gelfand-Naimark-Segal-sætningen , kan rummet af rene tilstande defineres som et Hilbert-rum . For ubegrænsede operatorer beskrives rummet af rene tilstande som et indrammet Hilbert-rum. Da Hilbert-rummet er lineært , så for at definere det, er det tilstrækkeligt at specificere basisvektorerne og handlingen af ​​selvadjointende operatorer, der beskriver de observerbare. Hvis basisvektorerne er defineret som egenvektorer for operatorer, er det til dette nødvendigt kun at bruge pendlende (eller pendlende) operatorer . For afgrænsede operatører er sæt af pendlingsoperatører udskilt, og for ubegrænsede pendlere. Samtidig skal permutationsoperatører være gensidigt uafhængige og danne et komplet system, det vil sige, at de skal være PSKN. Egenværdisættene for disse operatorer definerer vektorer i et Hilbert-rum .

Egenvektorer er defineret op til en konstant faktor, så de kan normaliseres. Som følge heraf danner de normaliserede vektorer , som er egenvektorer af et komplet system af gensidigt uafhængige permutationsoperatorer , et komplet ortonormalt system i et Hilbert-rum .

Hvis generatorerne af de observerbares NSCP'er samtidig tager nøjagtige værdier , betyder det, at kvantesystemet er i en ren tilstand . Derfor kaldes et komplet system af observerbare pendler nogle gange for et komplet sæt af observerbare i fællesskab.

På nuværende tidspunkt er nødvendige og tilstrækkelige forhold ukendte, hvorunder en operatoralgebra med involution har et komplet system af permutationsoperatorer .

Litteratur