Krylov underrum

I lineær algebra er et Krylov-underrum af dimension , genereret af en vektor og en matrix , et lineært rum $m$ $v\in {\mathbb {C}}^{n}$ $A\in {\mathbb {C}}^{{n\times n}}$

${\mathcal {K}}_{m}(v,A)=\operatørnavn {span}\{v,Av,A^{2}v,...,A^{{m-1}}v\ }.$

Krylov-underrummet er et underrum af vektorrummet over feltet af komplekse tal : ${\mathcal {K}}_{m}\subset \mathbb {C} ^{n}.$

Sådanne rum blev opkaldt efter den russiske anvendte matematiker og flådeingeniør A. N. Krylov , som udgav et papir om problemet i 1931.

Dimension af Krylov-underrummet

På grund af rummets endelige dimensionalitet er der sådan , at vektorerne er lineært uafhængige, og der er en lineær kombination af disse vektorer med koefficienter $\mathbb{C}^{n}$ $p\;(0\leq p\leq n),$ $v,\;Av,\;A^{2}v,\;...,\;A^{p-1}v$ $A^{p}v$ $\gamma _{1},\;\gamma _{2},\;...,\;\gamma _{p}:$

$A^{p}v=-\gamma _{1}A^{p-1}v-\gamma _{2}A^{p-2}v-...-\gamma _{p }v$

Vi sammensætter et polynomium og får: $\varphi (\lambda )=\lambda ^{p}+\gamma _{1}\lambda ^{{p-1}}+\gamma _{2}\lambda ^{{p-2}}+.. .+\gamma _{p}$

$\varphi (A)v=0.$

Gradpolynomiet er det minimale polynomium af vektoren v i forhold til matrixen A . $\varphi (A)$ $s$

Egenskaber for Krylov-underrummet

1. invariant med hensyn til og for evt

{\mathcal {K}}_{p}

EN

{\mathcal {K}}_{m}={\mathcal {K}}_{p}

m\geq s.

dim({\mathcal {K}}_{m})=\min\{m,p\}.

Krylovsky type metoder

Algoritmer, der bruger Krylov-underrum, kaldes traditionelt for metoder af Krylov-typen. De er blandt de mest succesrige metoder, der i øjeblikket er tilgængelige på numerisk lineær algebra.

Moderne iterative metoder til at finde egenværdier og metoder til løsning af SLAE'er, fokuseret på matricer af store dimensioner, undgå matrix-matrix-operationer og oftere gange matricen med vektorer og arbejde med de resulterende vektorer:

${\mathcal {K}}_{m}(v,A)=\operatørnavn {span}\{v_{1},v_{2},v_{3},...,v_{m}\},$

hvor

$v_{1}=v,\;v_{2}=Av_{1},\;v_{3}=Av_{2},\;...,\;v_{m}=Av_{{m-1 }}$ .

De mest berømte Krylov subspace metoder er Arnoldi metoden , Lanczos metoden , Conjugate gradient metoden , GMRES , BiCG , BiCGSTAB , QMR , TFQMR og MinRES .

Se også

Krylovs metode til at finde matrixens karakteristiske polynomium .
Projektionsmetoder til løsning af SLAE
Lanczos biortogonalisering
Iterativt skabelonbibliotek

Litteratur

Krylov A.N. På den numeriske løsning af en ligning, der bestemmer frekvenserne af små oscillationer af materialesystemer i tekniske spørgsmål. . - 1931. - S. 26 .
Saad Y. Iterative metoder til sparsomme lineære systemer . — 2. udgave. - SIAM Society for Industrial & Applied Mathematics, 2003. - S. 477 . — ISBN 0898715342 .
Gantmakher F.R. Matrix Theory . — 2. udgave. - M .: Nauka, 1966. - S. 576. - ISBN 5-9221-0524-8 .
Balandin M. Yu., Shurina EP Metoder til løsning af højdimensionelle SLAE'er. - Novosibirsk: NSTU, 2000. - S. 70.