Krylov underrum

I lineær algebra er et Krylov-underrum af dimension , genereret af en vektor og en matrix , et lineært rum

Krylov-underrummet er et underrum af vektorrummet over feltet af komplekse tal :

Sådanne rum blev opkaldt efter den russiske anvendte matematiker og flådeingeniør A. N. Krylov , som udgav et papir om problemet i 1931.

Dimension af Krylov-underrummet

På grund af rummets endelige dimensionalitet er der sådan , at vektorerne er lineært uafhængige, og der er en lineær kombination af disse vektorer med koefficienter

Vi sammensætter et polynomium og får:

Gradpolynomiet er det minimale polynomium af vektoren v i forhold til matrixen A .

Egenskaber for Krylov-underrummet

1. invariant med hensyn til og for evt 2.

Krylovsky type metoder

Algoritmer, der bruger Krylov-underrum, kaldes traditionelt for metoder af Krylov-typen. De er blandt de mest succesrige metoder, der i øjeblikket er tilgængelige på numerisk lineær algebra.

Moderne iterative metoder til at finde egenværdier og metoder til løsning af SLAE'er, fokuseret på matricer af store dimensioner, undgå matrix-matrix-operationer og oftere gange matricen med vektorer og arbejde med de resulterende vektorer:

hvor

.

De mest berømte Krylov subspace metoder er Arnoldi metoden , Lanczos metoden , Conjugate gradient metoden , GMRES , BiCG , BiCGSTAB , QMR , TFQMR og MinRES .

Se også

Litteratur

Noter

Links