Lignende matricer
Kvadratmatricer A og B af samme orden siges at være ens , hvis der eksisterer en ikke-singular matrix P af samme orden, således at:
Lignende matricer opnås ved at specificere den samme lineære transformation af en matrix i forskellige koordinatsystemer ; i dette tilfælde er matrixen Р overgangsmatrixen fra et system til et andet.
Hvis to matricer er ens, så siges den ene af matricerne at blive opnået ved en lighedstransformation fra den anden. Hvis en af matricerne desuden er diagonal , så siges den anden matrix at være diagonaliserbar.
Egenskaber
Matrixlighedsrelationen er en ækvivalensrelation i rummet af kvadratiske matricer.
Disse matricer deler mange karakteristika, nemlig:
- rang
- determinant
- spore
- egenværdier (men egenvektorer matcher muligvis ikke)
- karakteristisk polynomium
- Jordan form op til celle permutation
Det kan bevises, at enhver matrix A ligner A T .
Kanoniske former for lignende matricer
Spørgsmålet opstår ofte om, hvor meget formen af en given lineær transformation kan forenkles ved at ændre grundlaget (dvs. koordinatsystemet). Da de resulterende matricer ligner hinanden, er dette det samme som at søge efter en eller anden kanonisk form af en matrix i ækvivalensklassen af matricer, der ligner matrixen for denne lineære transformation.
Den enkleste form ville selvfølgelig være en diagonal matrix, men ikke alle matricer kan reduceres til en diagonal form (en vigtig undtagelse er symmetriske reelle og hermitiske matricer, som altid kan diagonaliseres).
Der er flere mere komplekse kanoniske former for matricer, som enhver matrix kan reduceres til ved en lighedstransformation: