Undermodul

Et undermodul er en undergruppe af et modul , der er en undergruppe af dets additivgruppe og er lukket under multiplikation med elementer i hovedringen . Især venstre (højre) ideal af en ring er et undermodul til venstre (højre) -modul . $R$ $R$ $R$

Relaterede definitioner

Et undermodul, der er forskelligt fra hele modulet, kaldes et indbygget modul .
Et undermodul kaldes stort (eller essentielt ), hvis det har et skæringspunkt, der ikke er nul, med et hvilket som helst andet undermodul, der ikke er nul.
- For eksempel danner de heltal et stort undermodul af gruppen af rationelle tal.
Hvert modul er et stort undermodul af dets injektionsskal .
Et undermodul til et modul kaldes lille (eller coessential ), hvis ligheden indebærer for et hvilket som helst undermodul . $EN$ $B$ $A'\subset B$ $A+A'=B$ $A'=B$
- For eksempel viser hvert korrekt undermodul af kædemodulet sig at være lille .

Egenskaber

Sættet af undermoduler af et givet modul, ordnet efter inklusion, er et komplet Dedekind- gitter .
Summen af alle små undermoduler er den samme som skæringspunktet mellem alle maksimale undermoduler.
Et venstreideal tilhører Jacobson-radikalen, hvis og kun hvis er lille for et hvilket som helst endeligt genereret venstremodul . $jeg$ $IM$ $M$ $M$
Elementerne i et lille undermodul er ikke-generatorer, det vil sige, at ethvert system af generatorer i modulet forbliver sådan efter fjernelse af nogen af disse elementer (dette betyder selvfølgelig ikke, at de kan fjernes på én gang!) .
Jacobson-radikalen i endomorfi -ringen af et modul falder sammen med sættet af endomorfismer med et lille billede.
Hvis er en homomorfi af et modul til et modul , så viser sættet sig at være et undermodul til modulet og kaldes kernen af homomorfi . $\phi$ $EN$ $B$
$\phi ^{-1}(0)\delsæt A$
$EN$ $\phi$
- Hvert undermodul fungerer som kernen i en eller anden homomorfi.

Litteratur

Kash F. Moduler og ringe, - pr. fra German, M. , 1981;
Face K. Algebra: ringe, moduler og kategorier, - pr. fra engelsk, bind 1-2, Moscow , 1977-79.