Underkategori
I matematik er en underkategori af en kategori C en kategori S , hvis objekter også er objekter af C , og hvis morfismer også er morfismer i C , med samme identitetsmorfismer og sammensætningsregler. Intuitivt opnås underkategorien S fra C ved at fjerne nogle objekter og morfismer.
Formel definition
Lad C være en kategori. Underkategori S af kategori C er defineret af
- en underklasse af C -objekter , betegnet med ob( S ),
- underklasse af morfismer C , betegnet med hom( S ).
således at følgende betingelser er opfyldt:
- for hvert X i ob( S ) tilhører identitetsmorfismen id X hom( S ),
- for hver morfisme f : X → Y til hom( S ), ligger dens forbillede X og billede Y i ob( S ),
- for hvert par af morfismer f , g i hom( S ), ligger sammensætningen f og g i hom( S ), hvis den er defineret i C .
Det følger af disse forhold, at S er en kategori i sig selv. Der er en åbenlys streng funktion I : S → C kaldet indlejringsfunktion .
En underkategori S kaldes en komplet underkategori C , hvis for hvert par af objekter X , Y i S
Typer af underkategorier
En underkategori S af en kategori C kaldes isomorphism closed hvis nogen isomorphism k : X → Y i C sådan at Y hører til S hører også til S . En komplet underkategori lukket under en isomorfi kaldes en strengt komplet underkategori .
En underkategori C er bred , hvis den indeholder alle C -objekter . Især er den eneste brede komplette underkategori af kategori C selve C.
Se også
Litteratur
- S. McLane Kategorier for en arbejdende matematiker, - M . : FIZMATLIT, 2004. - 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .