Cartan subalgebra

Cartan-subalgebraen er en nilpotent Lie-subalgebra svarende til dens normalisator : ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {g}}$

$\underbrace {[{\mathfrak {a}},[{\mathfrak {a}},[\dotsb ,[{\mathfrak {a}},{\mathfrak {a}}} _{n}] \dotsb ]]]=0$ for nogle (nilpotens), $n\in \mathbb{N}$
$\forall Y\not \i {\mathfrak {a}}\ \exists X\in {\mathfrak {a}}:\ \left[X,Y\right]\ikke \i {\mathfrak {a } }}$ (selvnormalisering).

Begrebet er af stor betydning for klassificeringen af semisimple Lie-algebraer og i teorien om symmetriske rum . Opkaldt efter den franske matematiker Elie Cartan .

Tilsvarende definition: En nilpotent subalgebra er en Cartan-subalgebra, hvis den er lig med dens null Fitting-komponent, dvs. sættet: ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {g}}$

{\mathfrak {g}}_{0}:=\left\{X\in {\mathfrak {g}}:\forall H\in {\mathfrak {a}}\;\;\eksisterer n_ {H,X}\in \mathbb {Z} ,\;\;(\operatørnavn {ad} H)^{n_{H,X}}(X)=0\right\},

hvor er den tilgrænsende repræsentation af Lie-gruppen . $\operatørnavn {annonce}$

Egenskaber

Cartan-subalgebraer er maksimale nilpotente subalgebraer, det vil sige, at de ikke er indeholdt i strengt store nilpotente subalgebraer.

En vilkårlig finitdimensional Lie-algebra over et uendelig felt har en Cartan-subalgebra.

For en finitdimensional Lie-algebra over et algebraisk lukket felt med karakteristik 0, er alle Cartan-subalgebraer konjugerede med hensyn til automorfier af Lie-algebraen og er især isomorfe. Dimensionen af Cartan-algebraen kaldes rangen af Lie-algebraen. Hvis Lie-algebraen er løsbar , er disse egenskaber også gyldige for felter, der ikke er algebraisk lukkede. Under de samme antagelser er en vilkårlig maksimal nilpotent undergruppe, hvis dimension er lig med rangen af Lie-algebraen, en Cartan-undergruppe.

Billedet af en Cartan-subalgebra under en surjektiv Lie-algebra - homomorfi er en Cartan-subalgebra.

Hvis for en finitdimensional Lie-algebra over et uendeligt felt er et regulært element, det vil sige et element, for hvilket endomorfiens nultilpasningskomponent har en minimumsdimension, så er subalgebraen , hvis elementer er sådan, at for nogle er en Cartan-subalgebra . For felter med karakteristik 0 har alle Cartan-subalgebraer formen som for det tilsvarende regulære element . Hvert regulært element tilhører kun én Cartan-undergruppe. $X\in {\mathfrak {g))$ $\operatørnavn {ad} X$ ${\mathfrak {n}}(X,{\mathfrak {g}})$ $Y\in {\mathfrak {g}}$ $\operatorname {ad} ^{n}X(Y)=0$ $n\i \mathbb{Z }$ $X\in {\mathfrak {g}}.$

Hvis er en udvidelse af feltet , så er subalgebraen en Cartan subalgebra hvis og kun hvis er en Cartan subalgebra af algebraen $k\subset K$ ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {a}}\otimes _{k}K$ ${\mathfrak {g}}\otimes _{k}K.$

Eksempler

Enhver nilpotent Lie-algebra er lig med dens Cartan-subalgebra.

Den Cartan subalgebra af en generel lineær gruppe over nogle felt er algebraen af diagonale matricer .

Den Cartan subalgebra af Lie algebra:

{\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )=\venstre\{A\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C}): \mathrm {Tr} (A)=0\right\}

er en subalgebra af diagonale matricer:

{\mathfrak {a}}_{0}=\left\{\mathrm {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}):\lambda _{1}+ \ldots +\lambda _{n}=0\right\}.

Enhver anden Cartan-subalgebra er konjugeret til . ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {a}}_{0}$

Men for eksempel i algebra er der ikke-konjugerede subalgebraer af Cartan, især ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$

{\mathfrak {a}}_{1}=\mathbb {R} \left({\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right)

{\mathfrak {a}}_{2}=\mathbb {R} \left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right).

Dimensionen af Cartan-algebraen som helhed er ikke den maksimale dimension af en Abelsk subalgebra, selv for simple algebraer over komplekse tals felt. For eksempel har Lie-algebraen en Cartan-subalgebra af dimension , men dimensionen af dens Abelske subalgebra, som består af alle matricer af formen , hvor er en vilkårlig matrix af dimension , er . Denne subalgebra er ikke en Cartan-subalgebra, fordi den er strengt indeholdt i den nilpotente subalgebra af øvre trekantede matricer med nul diagonale indgange. ${\mathfrak {sl}}(2n,\mathbb {R} )$ $2n-1$ ${0\ A \choose 0\ 0}$ $EN$ $n\ gange n$ $n^{2}$

Et eksempel på en maksimal nilpotent subalgebra, der ikke er en Cartan-subalgebra, er matrixalgebraen af formen hvor er identitetsmatrixen af orden , og matricerne er øvre trekantede med nul diagonale indgange. Disse matricer danner en Abelsk subalgebra af den generelle lineære gruppe, og det kan bevises, at denne algebra er en maksimal nilpotent subalgebra. Men hvis er en diagonal matrix, hvis ikke alle elementer er ens, så selvom , og det andet krav i definitionen af Cartan subalgebra er ikke opfyldt. ${\mathfrak {h))$ $\{aI_{n}+N\},$ $a\in \mathbb {R} ,\;\;$ $I}$ $n$ $N\in {\mathfrak {n}}$ $Y$ $[Y,X]\in {\mathfrak {n))\subset {\mathfrak {h)),\;\;\forall X\in {\mathfrak {h)),$ $Y\ikke \in {\mathfrak {h))$

Semisimple Lie algebraer

Hvis er en semisimple Lie-algebra over et algebraisk lukket felt med karakteristisk 0, så er Cartan-subalgebraen Abelsk, og billederne af den adjoint repræsentation , begrænset til , er samtidigt diagonaliserbare i sættet af vægtvektorer og er et egenrum svarende til vægten . Udvidelsen til en direkte sum er også gyldig $\mathfrak{g}$ ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {g}}$ $\mathrm {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ $\mathfrak{a}$ $\mathfrak{a}$ $0$

{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in {\mathfrak {a}}^{*}}{\mathfrak {g}}_{\ alfa))

hvor

{\displaystyle \left[X,Y\right]=\alpha (X)Y\quad \forall X\in {\mathfrak {a)),Y\in {\mathfrak {g))_{\alpha ))

{\mathfrak {g}}_{\alpha }\not =0\Longrightarrow \alpha (X)\not =0\quad \forall X\in {\mathfrak {a)).

Især i sagen

{\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )=\venstre\{A\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C}): \mathrm {Spur} (A)=0\right\},

{\mathfrak {a}}=\left\{\mathrm {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}):\lambda _{1}+\ldots +\ lambda _{n}=0\right\}.

Hvis vi betegner en matrix med et element i position og andre elementer lig med , så er udvidelsen: $e_{ij}$ $en$ $(i,j)$ $0$

{\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}\oplus \bigoplus _{i\not =j}\mathbb {C} e_{ij}={\mathfrak {a}}\oplus \ bigoplus _{\alpha \in {\mathfrak {a}}^{*}}{\mathfrak {g}}_{\alpha },

hvor for vægt: $\mathbb {C} e_{ij}={\mathfrak {g}}_{\alpha }$

\alpha (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})=\lambda _{i}-\lambda _{j}.

Litteratur

Eli Cartan. Sur la structure des groupes de transformations finis et continus. - Paris, 1894. - (Disse).
Anthony W. Knapp. Lie grupper ud over en introduktion. - Anden version. - Boston, MA: Birkhäuser, 2002. - (Progress in Mathematics, 140). — ISBN 0-8176-4259-5 .