Plurisubharmonisk funktion
En plurisubharmonisk funktion er en funktion med reel værdi , af komplekse variable i et domæne
af komplekst rum , , der opfylder følgende betingelser:
![{\displaystyle u=u({\vec {z)))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df615c7eaf4b5b9237dffb1e6723711fde7a281c)
![D](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)
![{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a53b4e76242764d1bca004168353c380fef25258)
![n\geqslant 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4988f75f48013d159669b6725b19df177ff8a01)
er øvre halvkontinuerlig overalt i ;![D](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)
er en subharmonisk funktion af variablen i hver tilsluttet komponent i det åbne sæt for eventuelle fikspunkter .![{\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11a6d1585381827bdf73529c2a418bc14098567c)
![{\displaystyle \{\lambda \in \mathbb {C} \mid z_{0}+\lambda a\in D\))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70755b2fac680ccbd139529c75f56d2221798fd0)
![{\displaystyle z_{0}\in D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c8324f161822442c1e5c058ec4d19888f9d3f6)
![{\displaystyle a\in \mathbb {C} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d5c0edb5aba6aa3bcd5ae2e72001eebe7973bd3)
Eksempler
, for , hvor er en holomorf funktion i .
![{\displaystyle |f(z)|^{p))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95cbf6c126d1b4df79973dc5d5f60381ecfce6c2)
![p\geqslant 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4711a74574413b9dda46fd6adfbc7a25a270b40)
![f(z)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8dd568d570b390c337c0a911f0a1c5c214e8240)
![D](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)
Relaterede definitioner
En funktion kaldes en plurisuperharmonisk funktion, hvis der er en plurisuperharmonisk funktion.
![v(z)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7079b24d1daefdf8f5e1b35292032a3bf64968c0)
![{\displaystyle -v(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27ed851d38b6627e22a0944f010f5b449bea222d)
Egenskaber
Plurisubharmoniske funktioner er subharmoniske, men det modsatte er ikke sandt for .
![n>1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee74e1cc07e7041edf0fcbd4481f5cd32ad17b64)
Ud over de generelle egenskaber ved subharmoniske funktioner gælder følgende for plurisubharmoniske funktioner:
er en plurisubharmonisk funktion i domænet, hvis og kun hvis er en plurisubharmonisk funktion i nærheden af hvert punkt ;![D](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)
![u(z)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10bbd250e62d7bc323b96b0719e29be7f227beb1)
![{\displaystyle z\in D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66c9016b90a20d376dbafef2db16f8dfc177a489)
- en lineær kombination af plurisubharmoniske funktioner med positive koefficienter er en plurisubharmonisk funktion;
- grænserne for en ensartet konvergent og monotont aftagende sekvens af plurisubharmoniske funktioner er plurisubharmoniske;
- for enhver punktmiddelværdi
![{\displaystyle z_{0}\in D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c8324f161822442c1e5c058ec4d19888f9d3f6)
over en kugle med radius , er en stigende funktion over , konveks i forhold til intervallet , hvis bolden er placeret ved ;
![r](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
![r](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
![{\displaystyle \ln r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a50e7ced87dd3836226833e0ce3de84ae5e95cb5)
![{\displaystyle B_{R}(z_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/593aaeaaeb6bfd6f3e29842146473373d578867d)
![D](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)
- under holomorfe afbildninger bliver den plurisubharmoniske funktion plurisubharmonisk;
- hvis er en kontinuert plurisubharmonisk funktion i domænet , er en lukket forbundet analytisk delmængde , og restriktionen når sit maksimum på , derefter på .
![u(z)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10bbd250e62d7bc323b96b0719e29be7f227beb1)
![D](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)
![E](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b)
![{\displaystyle u|_{E}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/965116f01f81da67c68045a56c7a63305d0c67a1)
![E](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b)
![{\displaystyle u(z)=\mathrm {konst} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/904cc71d7c51fb44d14b80ee59ffc3d714aa4e0e)
![E](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b)
Se også
Litteratur
- Shabat BV Introduktion til kompleks analyse. I 2 bind. — M.: Nauka, 1976. — 720 s.
- Fuchs B.A. Særlige kapitler i teorien om analytiske funktioner af flere komplekse variabler. - Moskva: Statens forlag for fysisk og matematisk litteratur, 1963. - 428 s.