Plurisubharmonisk funktion

En plurisubharmonisk funktion er en funktion med reel værdi , af komplekse variable i et domæne af komplekst rum , , der opfylder følgende betingelser: $u=u({\vec {z)))$ $n$ ${\vec {z}}=(z_{1},\;z_{2},\;\ldots ,\;z_{n})$ $D$ $\mathbb {C} ^{n}$ $n\geqslant 1$

$u(z)$ er øvre halvkontinuerlig overalt i ; $D$
$u(z_{0}+\lambda a)$ er en subharmonisk funktion af variablen i hver tilsluttet komponent i det åbne sæt for eventuelle fikspunkter . $\lambda \in \mathbb {C}$ ${\displaystyle \{\lambda \in \mathbb {C} \mid z_{0}+\lambda a\in D\))$ $z_{0}\in D$ $a\in \mathbb {C} ^{n}$

Eksempler

$\ln |f(z)|$ , for , hvor er en holomorf funktion i . ${\displaystyle |f(z)|^{p))$ $p\geqslant 0$ $f(z)$ $D$

Relaterede definitioner

En funktion kaldes en plurisuperharmonisk funktion, hvis der er en plurisuperharmonisk funktion. $v(z)$ $-v(z)$

Egenskaber

Plurisubharmoniske funktioner er subharmoniske, men det modsatte er ikke sandt for . $n>1$

Ud over de generelle egenskaber ved subharmoniske funktioner gælder følgende for plurisubharmoniske funktioner:

$u(z)$ er en plurisubharmonisk funktion i domænet, hvis og kun hvis er en plurisubharmonisk funktion i nærheden af hvert punkt ; $D$ $u(z)$ $z\in D$
en lineær kombination af plurisubharmoniske funktioner med positive koefficienter er en plurisubharmonisk funktion;
grænserne for en ensartet konvergent og monotont aftagende sekvens af plurisubharmoniske funktioner er plurisubharmoniske;
for enhver punktmiddelværdi $z_{0}\in D$

\oint \limits _{S_{r}(z_{0})}u

over en kugle med radius , er en stigende funktion over , konveks i forhold til intervallet , hvis bolden er placeret ved ; $r$ $r$ $\ln r$ $0<r<R$ $B_{R}(z_{0})$ $D$

under holomorfe afbildninger bliver den plurisubharmoniske funktion plurisubharmonisk;
hvis er en kontinuert plurisubharmonisk funktion i domænet , er en lukket forbundet analytisk delmængde , og restriktionen når sit maksimum på , derefter på . $u(z)$ $D$ $E$ $D$ $u|_{E}$ $E$ $u(z)=\mathrm {konst}$ $E$

Se også

pluriharmonisk funktion

Litteratur

Shabat BV Introduktion til kompleks analyse. I 2 bind. — M.: Nauka, 1976. — 720 s.
Fuchs B.A. Særlige kapitler i teorien om analytiske funktioner af flere komplekse variabler. - Moskva: Statens forlag for fysisk og matematisk litteratur, 1963. - 428 s.