Pæle- og staldparadokset ( stald- og staldparadoks , stigeparadoks ) er et tankeeksperiment inden for rammerne af den særlige relativitetsteori . Den betragter en stang, der flyver parallelt med jorden og derfor er genstand for Lorentzian længdekontraktion . Som et resultat vil stangen passe ind i en lade, hvor den normalt ikke ville passe. På den anden side, set fra stangens synspunkt, bevæger laden sig mens stangen er i ro. Så vil længden af stalden blive reduceret, og stangen, der allerede er for lang, kommer ikke ind i stalden. Det tilsyneladende paradoks udspringer af antagelsen om absolut samtidighed. Så en stang placeres i en lade, hvis begge ender af stangen er inde i laden på samme tid. I relativistik er simultanitet relativ, så spørgsmålet om, hvorvidt en stang er i en lade, skal overvejes med hensyn til hver enkelt observatør, både stangen og laden. Dermed er paradokset løst.
I den enkleste version af paradokset er der en lade med åbne døre foran og bagpå, og en stang, der ikke passer ind i ladet i hvile. Vi accelererer stangen til høj vandret hastighed ved at skyde den gennem stalden. På grund af sin høje hastighed undergår stangen en afkortende effekt og bliver væsentligt kortere. Som et resultat, flyver gennem laden, i nogen tid er stangen helt placeret inde i den. For at vise dette kunne vi lukke begge døre til stalden samtidig, mens pælen er inde.
Indtil videre er der ikke observeret noget paradoks. Det opstår, når vi betragter den samme effekt fra polens synspunkt. Da observatøren på stangen bevæger sig i forhold til staldens inertiereferenceramme med konstant hastighed, er denne observatørs referenceramme også inerti. Derfor, ifølge relativitetsprincippet, er de samme fysiklove gyldige for polens referenceramme. Så for stangen hviler han selv, og skuret flyver tværtimod på ham i høj fart. Det betyder, at staldens længde reduceres, og vi kan konkludere, at stalden i løbet af dens spændvidde ikke helt kunne rumme stangen. Derfor kan vi ikke lukke stalddørene på begge sider ved at lukke en pæl inde. Denne modsigelse indeholder et paradoks.
Løsningen på paradokset ligger i samtidighedens relativitet: det, der samtidig er i én referenceramme (for eksempel en lade) kan være ikke-samtidig i en anden (i dette tilfælde en pol). Når vi siger at stangen "passer" i skuret, så mener vi egentlig at både for- og bagkanten af stangen var inde i skuret på samme tid. Da samtidighed er relativ, kunne stangen i to forskellige referencerammer enten passe eller ej, og observatørerne i begge rammer ville have ret. Set fra staldens synspunkt lå både for- og bagsiden af stangen på et tidspunkt inde i stalden, så stangen passede. Men set fra stangens synspunkt skete disse hændelser ikke samtidig, og stangen passede ikke i stalden.
Dette er let at se, hvis dørene i staldens referenceramme, så snart stangen går helt ind i stalden, lukker samtidigt i kort tid. I stangens referencesystem sker følgende. Med dørene åbne, når stangens forside op til bagdøren til skuret. Denne dør lukkes og åbnes derefter, så stangen kan flyve igennem. Efter noget tid flyver den bagerste ende af stangen til staldens hoveddør, og til gengæld lukkes og åbnes hoveddøren. Dette viser, at da samtidighed er relativt, vil begge døre ikke nødvendigvis være lukkede samtidigt, og stangen behøver ikke at passe helt ind i stalden.
En god illustration af, hvad der sker, er Minkowski-diagrammet nedenfor . Den er bygget i ladens referenceramme. Det lodrette blå område viser rumtiden for stalden, det røde område viser rumtiden for pælen. x- og t-akserne for stalden og x' og t' for pælen er ansvarlige for rum og tid.
I staldens referenceramme vises stangen i hvert tidspunkt på diagrammet som en vandret linje parallelt med x-aksen inden for det røde område. Den tykke blå streg, der ligger i det blå segment af stalden, repræsenterer pælen, når den er helt i stalden. Men i polens referenceramme er samtidige hændelser placeret langs linjer parallelt med x'-aksen. Således er stangens position på ethvert givet tidspunkt udtrykt ved skæringen af disse linjer med det røde segment. Som du kan se på diagrammet, er den tykke røde streg aldrig helt i det blå område, hvilket betyder, at stangen aldrig er helt i stalden.
I en mere kompliceret version af paradokset er det muligt fysisk at låse stangen i stalden, når den først er sat helt ind i den. For at gøre dette, lad os antage, at bagdøren i skurets referenceramme er lukket, det vil sige, at stangen stopper øjeblikkeligt i kollisionsøjeblikket med den [1] [2] . I kontaktøjeblikket vil hoveddøren også lukke, og som følge heraf vil stangen være helt låst inde i skuret. Da stangens relative hastighed bliver nul, er den ikke længere udsat for længdesammentrækning og vil nu overstige staldens længde. Som et resultat vil stangen ikke passe i stalden.
Ovenstående ræsonnement indebar det faktum, at længden af stangen i sit eget referencesystem overstiger staldens længde. Hvordan var det så overhovedet muligt at lukke begge døre til stalden og holde stangen inde?
Her er det værd at bemærke en generel egenskab ved relativistik: efter at have overvejet referencerammen for laden, konkluderede vi, at vi virkelig låser stangen i den. Så må dette også gælde i andre referencerammer, da en stang ikke kan knække i en ramme og forblive intakt i en anden. For at løse modsætningen er det nødvendigt at finde en forklaring på, hvorfor pælen kunne låses inde i stalden.
Dette forklares som følger. På trods af det faktum, at i stangens CO stopper alle dens dele samtidigt, i staldens CO, på grund af samtidighedens relativitet, forekommer disse handlinger på forskellige tidspunkter. Med andre ord ændrer stangens dele ikke hastighed samtidig, først bremser den forreste del, derefter den bagerste del [1] [3] . Når bagenden er bremset, er stangen allerede helt i skuret.
Hvad hvis bagdøren til stalden altid forbliver lukket? Lad den være så solid, at når den støder sammen med den, stopper stangen straks uden at bryde igennem den. Så vil der i scenariet beskrevet ovenfor komme et punkt i staldens CO, hvor stangen vil passe helt ind i stalden, før den kolliderer med bagdøren. Men i stangens ST er den for stor til at passe i skuret, så da den rammer væggen, er bagsiden af stangen stadig ikke nået frem til skurets hoveddør. Det ligner et paradoks. Spørgsmålet er: vil bagenden af stangen krydse hoveddøren til laden eller ej?
Vanskeligheden opstår fra antagelsen om, at stangen er absolut solid, det vil sige, at den bevarer sin form under enhver påvirkning. Polakker i hverdagen er ret solide og ufleksible. At besidde egenskaben absolut integritet ville imidlertid betyde, at kraften forplanter sig gennem objektet med en uendelig høj hastighed. Med andre ord, hvis en genstand skubbes fra den ene side, vil den anden bevæge sig med det samme. Dette er i strid med relativitetsprincippet, som siger, at den begrænsende hastighed for udbredelse af fysiske interaktioner er lysets hastighed. Det er næsten umuligt at bemærke forskellen i det virkelige liv, men i denne situation er dette faktum vigtigt. Det følger heraf, at i den særlige relativitetsteori kan et objekt ikke være absolut solidt.
I dette tilfælde, i det øjeblik, hvor den forreste ende af stangen kolliderer med ladens bagdør, "ved" bagenden endnu ikke om det, og fortsætter med at bevæge sig (og stangen "krymper"). I både staldens referenceramme og stangens egen referenceramme bevæger bagsiden af stangen sig i anslagsøjeblikket i hvert fald indtil lyshastighedskraften når enden af stangen. På det tidspunkt vil stangen faktisk være endnu kortere, end den blev som følge af længdereduktionen, så den bagerste ende af stangen vil allerede være i stalden. Det beskrevne bekræftes af beregninger i begge referencesystemer.
Det er fortsat usikkert, hvad der sker, når kraften når bagenden af stangen (grønt område i diagrammet). Stangen kan rives i små stykker, og hvis den er elastisk nok, vil den strække sig tilbage til sin oprindelige længde og falde ud af staldens bagdør.
Det undersøgte paradoks blev oprindeligt foreslået og løst af Wolfgang Rindler [1] . I sin oprindelige formulering falder en hurtigt løbende person, hvis rolle spilles af en lang stang, i en pit [4] . Det antages, at stangen er helt over pit, før accelerationen trækker ned hvert punkt på stangen.
Fra grubens synspunkt gennemgår stangen en langsgående sammentrækning i længden og placeres i gruben. Men set fra stangens synspunkt reduceres pits længde, og som følge heraf vil stangen ikke kunne falde ned i pit.
Faktisk trækker den acceleration, der samtidig trækker alle punkter af stangen ned i CO i pit, de punkter, der ikke samtidig trækker i stangens egen CO. I stangens referenceramme vil først den forreste ende af stangen accelerere nedad, og derefter dens andre infinitesimale dele, gradvist til bagenden. Som et resultat vil stangen bøje i sin referenceramme. Det er værd at understrege, at da stangen er bøjet i sin egen inerti-referenceramme, så er der en reel fysisk bøjning, ledsaget af en synlig spænding af stangen i alle CO'er.
Overvej et mere komplekst paradoks, hvor handlingen foregår i ikke-inertielle referencerammer. Først bevæger en person sig vandret og falder derefter ned. Personen (segmenteret stang) er fysisk deformeret, da stangen bøjes i den ene SO og bliver lige i den anden. Disse aspekter bringer nye problemer til paradokset, der er relateret til stivheden af stangen, og udvisker hovedessensen af den tilsyneladende modsigelse. Et lignende, men enklere problem, hvor kun inertielle referencerammer forekommer, er blevet kaldt ring-bar paradokset (Ferraro 2007). Stangen, der er noget længere end ringens diameter, bevæger sig opad til højre. Stangens lange akse er placeret i et vandret plan, parallelt med ringens plan. Ringen er i ro i dette øjeblik. Hvis, under stangens bevægelse, dens centrum på et tidspunkt falder sammen med midten af ringen, vil stangen forkortes under påvirkning af Lorentz-sammentrækningen af længden og vil passere gennem ringen. Et paradoks opstår, når man betragter den samme situation i stangens SR. Nu bevæger ringen sig ned til venstre og trækker sig sammen i længden vandret. Længden af stangen forbliver den samme. Hvordan vil stangen så passere gennem ringen?
Opløsningen af paradokset ligger i samtidighedens relativitet (Ferraro 2007). Længden af et fysisk objekt er defineret som afstanden mellem to samtidige begivenheder, der forekommer i begge ender af kroppen. Fra relativiteten af samtidighed følger derfor relativiteten af objektets længdelængde langs bevægelsesaksen, bestemt af Lorentz-sammentrækningen af længden. Tilsvarende bestemmes ved hjælp af tre samtidige hændelser den fysiske vinkel, som også vil være relativ. I det ovenfor beskrevne paradoks, på trods af at ringens og polens planer er parallelle med hinanden i ringens CO, er paralleliteten ikke bevaret i stangens CO. En stang, der ikke er udsat for afkortning, passerer kun gennem en forkortet ring, fordi ringens plan roterer i forhold til stangen.
Når man taler matematisk, kan Lorentz-transformationer dekomponeres til produktet af en rumlig rotation og en "korrekt" Lorentz-transformation, hvor der ikke er nogen rumlig rotation. Matematisk er ringens og stangens paradoks opløseligt, givet at produktet af to korrekte Lorentz-transformationer kan give en transformation, der viser sig at være forkert. En sådan transformation vil indeholde en komponent, der er ansvarlig for den rumlige rotation.