Ækvivalensforhold

En ækvivalensrelation er en binær relation mellem elementerne i et givet sæt, hvis egenskaber svarer til lighedsrelationens egenskaber .

Definition

En ækvivalensrelation ( ) på et sæt er en binær relation , for hvilken følgende betingelser er opfyldt for enhver af dem: $\sim$ $x$ $a,b,c$ $x$

refleksivitet : ; $a\sim a$
symmetri : hvis , så ; $a\sim b$ $b\sim a$
transitivitet : hvis og , så . $a\sim b$ $b\sim c$ $a\sim c$

En post som " " læses som " svarende til ". $a\sim b$ $-en$ $b$

Relaterede definitioner

En elementækvivalensklasse er en delmængde af elementer , der svarer til ; det er, $[a]\subset X$ $a\i X$ $-en$

{\displaystyle [a]=\{\,x\in X\mid x\sim a\,\))

Af ovenstående definition følger det umiddelbart, at hvis , så . $b\in[a]$ $[a]=[b]$

Et faktorsæt er et sæt af alle ækvivalensklasser i et givet sætmed hensyn til en given relation, betegnet med. $x$ $\sim$ $X/{\sim }$

Følgende notation bruges til elementækvivalensklassen : , , . $-en$ $[en]$ $a/{\sim }$ ${\overline {a}}$

Sættet af ækvivalensklasser med hensyn til er en opdeling af sættet . $\sim$

Eksempler

Lighed (" "), en triviel ækvivalensrelation på ethvert sæt, især reelle tal . $=$
Modulo sammenligning : a ≡ b (mod n).
I euklidisk geometri
- Kongruensrelation ( " "). $\kong$
- Lighedsforhold ( " "). $\sim$
- Forholdet mellem linjers parallelitet (" ") (hvis vi betragter hver linje parallel med sig selv). $\|$
Ækvivalens af funktioner i matematisk analyse : En funktion siges at være ækvivalent med en funktion for hvis den tillader en repræsentation af formen , hvor for . I dette tilfælde skriver de , og minder om nødvendigt om, at vi taler om at sammenligne funktioner med . Hvis for , er ækvivalensen af funktioner og for åbenbart ækvivalent med relationen . $f(x)$ $g(x)$ $x\højrepil x_{0}$ $f(x)=\alpha (x)g(x)$ $\alpha (x)\rightarrow 1$ $x\højrepil x_{0}$ $f(x)\sim g(x)$ $x\højrepil x_{0}$ $g(x) \ne 0$ ${\displaystyle x\neq x_{0))$ $f(x)$ $g(x)$ $x\højrepil x_{0}$ $\lim _{{x\højrepil x_{0}}}{{\frac {f(x)}{g(x)}}}=1$
Ækvivalens af normer på et vektorrum.
Ækvivalensforhold mellem mængder .
Isomorfi af grupper , ringe , vektorrum
Ækvivalens af kategorier .
En isomorfi i en eller anden kategori definerer en ækvivalensrelation for denne kategori.
Ækvivalens af glatte atlas af en glat manifold .

Ækvivalensklasser

Mættet af alle ækvivalensklasser svarende til ækvivalensrelationen er betegnet med symbolet og kaldes faktorsættet med hensyn til . I dette tilfælde den surjektive kortlægning $\sim$ $X/{\sim }$ $\sim$

p\colon x\mapsto[x]

kaldes den naturlige afbildning (eller kanonisk projektion ) på kvotientsættet . $x$ $X/{\sim }$

Lad og være mængder, være en mapping, derefter den binære relation defineret af reglen $x$ $Y$ $f\kolon X\til Y$ $x\sim y$

x\sim y\iff f(x)=f(y),\quad x,y\in X

er en ækvivalensrelation på . I dette tilfælde inducerer kortlægningen den afbildning , der er defineret af reglen $x$ $f$ ${\overline {f}}\colon X/{\sim }\to Y$

{\overline {f}}([x])=f(x)

eller, som er det samme,

(\overline {f}\circ p)(x)=f(x)

Dette resulterer i en faktorisering af kortlægningen til en surjektiv kortlægning og en injektiv kortlægning . $f$ $s$ $\overline {f}$

Se også

Tolerancerelationen er en svækket form for ækvivalens.
Ækvivalens er en logisk operation.
Ligetegn .

Litteratur

A. I. Kostrikin , Introduktion til algebra. M .: Nauka, 1977, 47-51.
A. I. Maltsev , Algebraic Systems, Moscow : Nauka, 1970, s. 23-30.
Relation af lighedstypen (ækvivalensforhold) // Great Soviet Encyclopedia (i 30 bind) / A. M. Prokhorov (chefredaktør). - 3. udg. - M. : Sov. Encyclopedia, 1974. - T. XVIII. - S. 629. - 632 s.