Ental punkt på kurven

Et enkelt punkt i en kurve er et punkt i hvis nabolag der ikke er nogen jævn parametrisering. Den nøjagtige definition afhænger af den type kurve, der undersøges.

Algebraiske kurver i planet

En algebraisk kurve i en plan kan defineres som et sæt punkter, der opfylder en ligning af formen , hvor er en polynomisk funktion : $\left(x,y\right)$ $f\left(x,y\right)=0$ $f\left(x,y\right)$ $f\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$

f=a+b_{1}x+b_{2}y+c_{1}x^{2}+2c_{2}xy+c_{3}y^{2}+\dots

Hvis oprindelsen hører til kurven, så . Hvis , så garanterer den implicitte funktionssætning eksistensen af en glat funktion , sådan at kurven tager form nær oprindelsen. På samme måde, hvis , så er der en funktion sådan, at kurven opfylder ligningen i nærheden af oprindelsen. I begge tilfælde er der en jævn kortlægning , der definerer en kurve i et kvarter af oprindelsen. Bemærk, at i nærheden af oprindelsen af koordinater $\left(0,0\right)$ $a=0$ $b_{2}\not =0$ $g$ $y=g\left(x\right)$ $b_{1}\not=0$ $h$ $x=h\left(y\right)$ $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$

b_{1}={\partial f \over \partial x},\,b_{2}={\partial f \over \partial y}.

Kurvens entalspunkter er de punkter på kurven, hvor begge derivater forsvinder:

f(x,y)={\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial y}=0.

Almindelige prikker

Lad kurven passere gennem origo. Putting , kan det være repræsenteret i formen $y=mx$ $f$

f=(b_{1}+b_{2}m)x+(c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2})x^{2}+\dots

Hvis , så har ligningen en løsning af multiplicitet 1 i punktet og origo er punktet for enkelt kontakt mellem kurven og linjen . Hvis , så har en løsning af multiplicitet 2 eller højere ved punktet, og linjen er tangent til kurven. I dette tilfælde, hvis , har kurven dobbelt kontakt med linjen . Hvis , og koefficienten ved ikke er lig med nul, så er origo kurvens bøjningspunkt . Denne begrundelse kan anvendes på ethvert punkt på kurven ved at flytte oprindelsen til et givet punkt. [en] $b_{1}+b_{2}m\not =0$ $f=0$ $x=0$ $y=mx$ $b_{1}+b_{2}m=0$ $f=0$ $x=0$ $y=mx$ $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}\not =0$ $y=mx$ $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $x^{3}$

Dobbelte prikker

Hvis i ovenstående ligning og , men mindst en af værdierne , eller ikke er lig med nul, kaldes oprindelsen et dobbeltpunkt på kurven. Sæt igen , så vil det tage formen $b_{1}=0$ $b_{2}=0$ $c_{1}$ $c_{2}$ $c_{3}$ $y=mx$ $f$

f=(c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2})x^{2}+(d_{1}+3d_{2}m+3d_{3}m ^{2}+d_{4}m^{3})x^{3}+\dots .

Dobbeltpunkter kan klassificeres efter ligningens rødder . $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$

Selvkrydsningspunkter

Hvis ligningen har to reelle løsninger i , altså hvis , så kaldes oprindelsen for selvskæringspunktet . Kurven i dette tilfælde har to forskellige tangenter svarende til to løsninger af ligningen . Funktionen har i dette tilfælde et sadelpunkt ved origo. $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $m$ $c_{2}^{2}-c_{1}c_{3}>0$ $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $f$

Isolerede punkter

Hvis ligningen ikke har nogen reelle løsninger i , det vil sige hvis , så kaldes oprindelsen for et isoleret punkt . På det reelle plan vil oprindelsen af koordinater være isoleret fra kurven, men på det komplekse plan vil oprindelsen af koordinater ikke være isoleret og vil have to imaginære tangenter svarende til to imaginære løsninger af ligningen . Funktionen har i dette tilfælde et lokalt ekstremum ved oprindelsen. $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $m$ $c_{2}^{2}-c_{1}c_{3}<0$ $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $f$

Casps

Hvis ligningen har én reel løsning i multiplicitet 2, altså hvis , så kaldes oprindelsen cusp , eller cusp . Kurven i dette tilfælde ændrer retning ved entalspunktet og danner en spids. Kurven ved origo har en enkelt tangent, som kan tolkes som to sammenfaldende tangenter. $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $m$ $c_{2}^{2}-c_{1}c_{3}=0$

Yderligere klassificering

Udtrykket knude ( engelsk node ) bruges som en generel betegnelse for isolerede punkter og selvskæringspunkter. Antallet af noder og antallet af spidser af en kurve er to invarianter, der bruges i Plückers formler .

Hvis en af løsningerne til ligningen også er en løsning til ligningen , så har den tilsvarende gren af kurven en bøjning ved origo. I dette tilfælde kaldes oprindelsen af koordinater for selvtangenspunktet . Hvis begge grene har denne egenskab, så er en divisor , og oprindelsen kaldes et biflektoidalt punkt (dobbeltkontaktpunkt). [2] $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $d_{1}+3d_{2}m+3d_{3}m^{2}+d_{4}m^{3}=0$ ${\displaystyle c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2))$ $d_{1}+3d_{2}m+3d_{3}m^{2}+d_{4}m^{3}$

Flere prikker

I det generelle tilfælde, når alle led med grad mindre end er lig med nul, og forudsat at mindst et led med grad ikke er lig med nul, siger vi, at kurven har et multipelt punkt af orden k . I dette tilfælde har kurven tangenter ved origo, men nogle af dem kan være imaginære eller sammenfaldende. [3] $k$ $k$ $k$

Parametriske kurver

En parametrisk kurve i R 2 er defineret som billedet af funktionen g : R → R 2 , g ( t ) = ( g 1 ( t ), g 2 ( t )). De enestående punkter i en sådan kurve er de punkter, hvor

{dg_{1} \over dt}={dg_{2} \over dt}=0.

Der kan angives mange kurver i begge visninger, men de to opgaver stemmer ikke altid overens. For eksempel kan spidsen findes både for den algebraiske kurve x 3 − y 2 = 0 og for den parametriske kurve g ( t ) = ( t 2 , t 3 ). Begge kurvedefinitioner giver et enkelt punkt ved origo. Selvskæringspunktet kurven y 2 − x 3 − x 2 = 0 ved origo er dog ental for en algebraisk kurve, men når g ( t ) = ( t 2 −1, t ( t ) 2 −1)) er parametrisk specificeret, parret afledte g ′( t ) forsvinder aldrig, og derfor er punktet ikke ental i ovenstående betydning.

Der skal udvises forsigtighed ved valg af parametrering. For eksempel kan linjen y = 0 defineres parametrisk som g ( t ) = ( t 3 , 0 ) og vil have et entalspunkt ved origo. Hvis den imidlertid er parametriseret som g ( t ) = ( t , 0), vil den ikke have entalspunkter. Det er således teknisk set mere korrekt at tale om enkeltpunkter i en glat kortlægning frem for enkeltstående punkter på en kurve.

Ovenstående definitioner kan udvides til implicitte kurver , som kan defineres som sættet af nuller f −1 (0) af en vilkårlig glat funktion . Definitionerne kan også udvides til kurver i højere dimensionelle rum.

Ifølge Hassler Whitneys teorem , [4] [5] er enhver lukket mængde i R n et sæt af løsninger f −1 (0) for en eller anden glat funktion f : R n → R . Derfor kan enhver parametrisk kurve defineres som en implicit kurve.

Typer af entalspunkter

Eksempler på enkeltstående punkter af forskellige typer:

Isoleret punkt : x 2 + y 2 \u003d 0,
Skæring af to linjer : x 2 − y 2 = 0,
Casp ( cusp ): x 3 − y 2 = 0,
Næbformet spids: x 5 − y 2 = 0.

Se også

Noter

↑ Hilton Kapitel II § 1
↑ Hilton Kapitel II § 2
↑ Hilton Kapitel II § 3
↑ Brooker og Larden. Differentielle bakterier og katastrofer. — London Mathematical Society. Forelæsningsnotater 17. Cambridge. - 1975.
↑ Bruce og Giblin, Curves and singularities , (1984, 1992) ISBN 0-521-41985-9 , ISBN 0-521-42999-4 (paperback)

Litteratur

Harold Hilton. Plane algebraiske kurver . — Oxford, 1920.