Cirkler af Malfatti

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 17. marts 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Malfatti- cirkler  er tre cirkler inde i en given trekant , således at hver cirkel berører de to andre og to sider af trekanten. Cirklerne er opkaldt efter Gianfrancesco Malfatti , som begyndte at undersøge problemet med at konstruere disse cirkler med den fejlagtige tro på, at de summer til det maksimalt mulige areal af tre ikke-skærende cirkler inde i en trekant. Malfatti-problemet relaterer sig til begge problemer, både konstruktionen af ​​Malfatti-cirkler og problemet med at finde tre ikke-skærende cirkler inde i en trekant med det maksimale samlede areal.

Malfatti problem

I 1803 foreslog Gianfrancesco Malfatti problemet med at udskære tre cylindriske søjler fra et trekantet marmorprisme på en sådan måde, at det samlede rumfang af søjlerne blev maksimeret. Han mente, som mange andre efter ham, at løsningen på problemet er givet ved, at tre cirkler rører hinanden. Det vil sige, at de tre Malfatti-cirkler giver det maksimale samlede areal blandt alle ikke-skærende cirkler inden for en trekant.

Malfatti udgav værket på italiensk, og mange kunne ikke læse det i originalen. Værket blev oversat til fransk af Joseph Dias Gergonne i første bind af Annales (1810-1811), efterfulgt af en diskussion i andet og tiende bind. Men i oversættelsen stillede Gergonne kun problemet med tangentcirkler, men ikke problemet med at finde det maksimale areal.

Hypotesen viste sig at være forkert. I 1930 blev det opdaget [1] at i nogle trekanter kan et større område opnås ved hjælp af en grådig algoritme , der indskriver en cirkel med maksimal radius i trekanten, og derefter indskriver en anden cirkel i en af ​​vinklerne med den mindste vinkel, og indskriver derefter en tredje cirkel i et af de fem resterende områder. Forskellen i areal for en regulær trekant er lille, lidt over 1% [2] men, som Howard Eaves bemærkede i 1946 , for en ligebenet trekant med en meget spids vinkel i spidsen, er de optimale cirkler (placeret over hinanden) , startende fra basen) har næsten dobbelt så stort areal sammenlignet med Malfatti-cirklerne [3] [4] . Det blev vist i 1967 [5] at for enhver trekant giver konstruktionen tre cirkler med et større areal end Malfatti-cirklerne, så Malfatti-cirklerne er aldrig optimale.

I 1992 [6] blev alle måder at arrangere cirkler med maksimalt samlet areal inde i en trekant klassificeret. Ved hjælp af denne klassifikation er det bevist, at den grådige algoritme altid finder arealmaksimerende cirkler, og der foreslås en formel til at bestemme, hvilket arrangement af cirkler der er optimalt for en given trekant. I 1997 blev det formodet, at for ethvert heltal n finder en grådig algoritme for en given trekant et sæt af n cirkler med det maksimale samlede areal. Det er kendt, at formodningen er sand for [7] .

Historie

Problemet med at konstruere tre tangentcirkler inde i en trekant blev foreslået af den japanske matematiker fra det 18. århundrede Ajima Naonobu (安島 直円) selv før Malfattis arbejde, og dette problem blev inkluderet i en upubliceret samling af Ajimas arbejde samlet et år efter hans død af en studerende Kusaka Makoto [8] . Det samme problem blev fundet i et tidligere manuskript fra 1384 af Montepulciano ( Gilio di Cecco da Montepulciano ). Manuskriptet er i det kommunale bibliotek på italiensk Siena [9] .

Siden Malfattis tid har der været en lang række værker om metoder til at konstruere Malfattis tangentcirkler. Richard Guy bemærkede, at litteraturen om problemet er "stor, fragmenteret og ikke altid bevidst om sin egen eksistens" [10] [11][ angiv ] . Det er bemærkelsesværdigt, at Jacob Steiner i 1826 præsenterede en simpel geometrisk konstruktion baseret på almindelige tangenter . Andre forfattere hævdede, at Steiners konstruktion ikke var tilstrækkeligt bevist, og Andrew Searle Hart leverede et bevis i 1856, men Guy pegede på beviset i to af Steiners egne papirer. Lob og Richmond (Lob, Richmond) nævnte løsningerne fra Lemus (CL Lehmus, 1819), catalansk (1845), Derusso (J. Derousseau, 1895), Pampucha (A. Pampuch, 1904) og Coolidge (JL Coolidge, 1916) ), baseret på den algebraiske problemformulering. Algebraiske løsninger skelner ikke mellem indre og ydre berøringer af cirkler og en given trekant. Hvis problemet er generaliseret og tillader berøringer af enhver art, så er der for en given trekant 32 forskellige løsninger [12] og omvendt, vil en tredobbelt af gensidigt tangerende cirkler være en løsning for otte forskellige trekanter [10] . Bottema og Guy ( Bottema, 2001 , Guy, 2007 ) nævnte også arbejdet med problemet og dets generaliseringer af Adams (C. Adams, 1846), Adolphe Quidde (1850), Schellbach (KH Schellbach, 1853), Cayley (1854, 1857, 1875), Clebsh (1857), Simons (P. Simons, 1874), Casey (J. Casey, 1888), Roche og Combrus (Rouché, Comberousse, 1900), Baker (HF Baker, 1925), Rogers (LJ) Rogers, 928), Procissi (Angelo Procissi, 1932), Naito (Jun Naito, 1975) og Rogers (DG Rogers, 2005).

Gato og Mazzotti ( Gatto, 2000 , Mazzotti, 1998 ) præsenterer en episode i napolitansk matematik fra det 19. århundrede forbundet med Malfattis kredse. I 1839 annoncerede Vincenzo Flauti en konkurrence, der involverede løsningen af ​​tre geometriske problemer, hvoraf det ene var konstruktionen af ​​Malfattis cirkler. Hans mål var at vise overlegenheden af ​​den syntetiske teknik (geometri uden brug af koordinater) over den analytiske. På trods af at løsningen blev fundet af en elev fra en rivaliserende skole for analytisk geometri , Fortunato Padula, gav Flauti prisen til sin egen elev, Nicola Trudi, hvis løsning Flauti kendte allerede før konkurrencen blev annonceret. For nylig er problemet med at konstruere Malfatti-cirkler blevet brugt til at teste computeralgebrasystemer [13] [14] .

Steiners konstruktion

Selvom meget af Malfattis tidlige arbejde med cirkler bruger analytisk geometri , gav Jacob Steiner i 1826 følgende enkle geometriske konstruktion.

Centret af en cirkel, der tangerer to sider af en trekant, som observeres i Malfatti-cirklerne, skal ligge på en af ​​halveringslinjerne i trekanten (grønne segmenter i figuren). Disse halveringslinjer opdeler trekanten i tre mindre trekanter, og Steiners konstruktion af Malfatti-cirklerne begynder med konstruktionen af ​​tre hjælpecirkler (vist på figuren med stiplede linjer), der er indskrevet i disse tre trekanter. Hvert par hjælpecirkler har to fælles tangenter. En af disse tangenter er en halveringslinje, og den anden er vist på figuren med en rød stiplet linje. Betegn trekantens sider med bogstaverne a , b og c , og tre tangenter, der ikke er halveringslinjer med bogstaverne x , y og z , hvor x er en fælles tangent for cirkler, der ikke berører side a , y er en fælles tangent for cirkler ikke rørende side b , og z er den fælles tangent for cirkler, der ikke rører side c . Så er de tre Malfatti- cirkler de ]15[bczyogaczx,abyxfirkantertrecirkler af deindskrevne [10] .

Radiusformel

Radius af hver af de tre Malfatti-cirkler kan findes ved en formel, der bruger længderne af siderne a , b og c i trekanten, radius af den indskrevne cirkel r , halvperimeteren og de tre afstande d , e og f fra midten af ​​trekantens indskrevne cirkel til hjørnerne modstående sider henholdsvis a , b og c . Formlerne for disse tre radier er:

(Midten af ​​radiuscirklen hører til segmentet ; Radiuscirklens centrum hører til segmentet ; Centrum af cirklen med radius tilhører segmentet .)

Ifølge Stevanović ( 2003 ) blev disse formler opdaget af Malfatti og blev publiceret posthumt i 1811.

Beslægtede formler kan bruges til at finde eksempler på trekanter, hvis sidelængder, incirkelradius og Malfatti-cirkelradier alle er rationelle eller heltal. For eksempel har en trekant med siderne 28392, 21000 og 25872 en indskreven cirkelradius på 6930 og Malfatti-radius på 3969, 4900 og 4356. Et andet eksempel: en trekant med siderne 152460, 165000 og 1900000 og 1900000 og 1900000 og 1900000 og 190000 og 190 radier på 27225, 309076 og [16] .

Points of Ajima - Malfatti

Givet en trekant ABC og dens tre Malfatti-cirkler, lad D , E og F  være de punkter, hvor de to cirkler rører hinanden, modsat hjørnerne A , B og C hhv. Derefter skærer de tre linjer AD , BE og CF et bemærkelsesværdigt punkt , kendt som det første Ajima-Malfatti-punkt . Det andet punkt i Ajima - Malfatti er skæringspunktet mellem tre linjer, der forbinder kontaktpunkterne for Malfattis cirkler med centrum af trekantens excirkler [17] [18] . Andre trekantcentre forbundet med Malfatti-cirklerne omfatter Iffa-Malfatti-punktet, der er dannet på samme måde som det første Malfatti-punkt, af tre gensidigt tangerende cirkler og (udstrakte) sider af trekanten, men delvist liggende uden for trekanten, [19] og det radikale centrum tre Malfatti-cirkler [20] .

Se også

Noter

  1. ↑ Lob, Richmond, 1930 , s. 287-304.
  2. ↑ Wells, 1991 .
  3. ↑ Eves, 1946 .
  4. ↑ Ogilvy, 1990 .
  5. ↑ Goldberg, 1967 .
  6. ↑ Zalgaller, Los, 1992 , s. 14-33.
  7. ↑ Andreatta, Bezdek, Boroński, 2010 .
  8. ↑ Fukagawa, Rothman, 2008 .
  9. ↑ Simi, Rigatelli, 1993 .
  10. ↑ 1 2 3 Guy, 2007 .
  11. ↑ Richard K. Guy. Trekanten. - S. 114.
  12. ↑ Bottema, 2001 krediterer Pampuh (1904) med en liste over disse løsninger, men Cajori (1893) bemærkede, at antallet af løsninger allerede var angivet i 1826 i Steiners bemærkninger.
  13. ↑ Hitotumatu, 1995 .
  14. ↑ Takeshima, Anai, 1996 .
  15. ↑ Martin, 1998 , øvelse 5.20 på s. 96.
  16. ↑ Miller, 1875 .
  17. ↑ Weisstein, Eric W. Ajima-Malfatti Points  på Wolfram MathWorld - webstedet .
  18. ↑ C. Kimberling, Encyclopedia of Triangle Centres Arkiveret 19. april 2012 på Wayback Machine , X(179) og X(180).
  19. ↑ Encyclopedia of Triangle Centres, X(400).
  20. ↑ Stevanovic, 2003 .

Litteratur

Links