Nilpotent element

Et nilpotent element er et element i ringen , hvis kraft forsvinder.

Betragtningen af nilpotente elementer viser sig ofte at være nyttig i algebraisk geometri , da de giver mulighed for at opnå rene algebraiske analoger af en række begreber, der er typiske for analyse og differentialgeometri ( uendeligt små deformationer osv.).

Udtrykket blev introduceret af Benjamin Pierce i hans arbejde med klassificeringen af algebraer [1] .

Definition

Et element x i en ring R siges at være nilpotent , hvis der eksisterer et positivt heltal n , således at [2] . $x^{n}=0$

Den mindste værdi, for hvilken denne lighed er sand, kaldes elementets nilpotensindeks . $n$ $-en$

Eksempler

Denne definition kan især anvendes på kvadratiske matricer . Matrix

A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}

er nilpotent fordi . Flere detaljer i artiklen Nilpotent matrix .

A^{3}=0

I kvotientringen Z /9 Z er ækvivalensklassen 3 nilpotent, da 3 2 er kongruent med 0 modulo 9.
Antag, at to elementer a og b i ringen R opfylder betingelsen . Så er grundstoffet nilpotent fordi . Eksempel på matricer (som a og b ): $ab=0$ $c=ba$ $c^{2}=(ba)^{2}=b(ab)a=0$

A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix)),\;\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix)).

Her .

AB=0,BA=B

Den split-quaternion ring indeholder en kegle af nilpotente elementer.

Per definition er ethvert element i nil- semigroup nilpotent.

Egenskaber

Intet nilpotent element kan vendes ( bortset fra den trivielle ring {0}, som har det eneste element 0 = 1 ). Alle ikke-nul nilpotente elementer er nul divisorer .

En n-for-n matrix A med elementer fra feltet er nilpotent, hvis og kun hvis dens karakteristiske polynomium er . $t^{n}$

Hvis et element x er nilpotent, så er det et inverterbart element, da det følger af: $1-x$ $x^{n}=0$ $(1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1})=1-x^{n}=1.$

Mere generelt er summen af et inverterbart element og et nilpotent element et inverterbart element, hvis de pendler.

Kommutative ringe

De nilpotente elementer i en kommutativ ring danner et ideal , som er en konsekvens af Newtons binomiale . Dette ideal er ringens nulradikal . Ethvert nilpotent element i en kommutativ ring er indeholdt i et hvilket som helst primideal for denne ring, da . Således er indeholdt i skæringspunktet mellem alle primære idealer. $R$ ${\mathfrak {N}}$ $x$ $\mathfrak{p}$ $x^{n}=0\in {\mathfrak {p))$ ${\mathfrak {N}}$

Hvis elementet ikke er nilpotent, kan vi lokalisere med potenserne : for at få en ringe uden nul . De primære idealer for en lokaliseret ring svarer nøjagtigt til disse primære idealer for ringen c [3] . Da enhver ikke-nul kommutativ ring har et maksimalt ideal , der er prime, er ethvert ikke-nilpotent element ikke indeholdt i et prime ideal. Så er præcis skæringspunktet mellem alle primære idealer [4] . $x$ $x$ $S=\{1,x,x^{2},...\}$ $S^{-1}R$ $\mathfrak{p}$ $R$ ${\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset$ $x$ ${\mathfrak {N}}$

En egenskab, der ligner Jacobson-radikalen, og udslettelse af prime-moduler er tilgængelig for nil -radikalen - de nilpotente elementer i ringen R er præcis dem , der tilintetgør alle integritetsdomæner i ringen R. Dette følger af det faktum, at nul-radikalen er skæringspunktet mellem alle primære idealer.

Nilpotente elementer i Lie Algebra

Lad være Lie Algebra . Så kaldes et grundstof nilpotent, hvis det er i og er en nilpotent transformation. Se også Jordans nedbrydning i Lie algebra . $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$ $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ $\operatørnavn {ad} x$

Nilpotens i fysik

Operanden Q , der opfylder betingelsen, er nilpotent. Grassmann-tal , som tillader repræsentation af fermioniske felter i form af sti-integraler , er nilpotente, fordi deres kvadrat forsvinder. BRST-ladningen er et vigtigt eksempel i fysik . $Q^{2}=0$

Lineære operatorer danner en associativ algebra , og derefter en ring, dette er et specialtilfælde af den oprindelige definition [5] [6] . Mere generelt, under hensyntagen til definitionerne ovenfor, er en operator Q nilpotent, hvis der eksisterer en sådan (en nulfunktion). Så er en lineær afbildning nilpotent, hvis og kun hvis den har en nilpotent matrix på et eller andet grundlag. Et andet eksempel er den ydre afledte (igen med ). Begge eksempler er forbundet gennem supersymmetri og Morse-teori [7] som vist af Edward Witten i et anerkendt papir [8] . $n\in \mathbb {N}$ $Q^{n}=0$ $n=2$

Det elektromagnetiske felt af en plan bølge uden kilder er nilpotent, hvis det udtrykkes i form af det fysiske rums algebra [9] . Mere generelt bruger mikroadditivitetsteknikken nilpotente infinitesimals og er en del af glat infinitesimal analyse .

Algebraiske nilpotenter

Todimensionelle dobbelttal indeholder et nilpotent rum. Andre algebraer og tal, der indeholder nilpotente rum, omfatter splitte kvaternioner (coquaternions), split octanioner , biquaternions og komplekse oktanioner . $\mathbb {C} \otimes \mathbb {H}$ $\mathbb {C} \otimes \mathbb {O}$

Se også

Idempotent element
Unipotent element
Reduceret ring
Nul-ideal

Noter

↑ Milies, Sehgal, 2002 , s. 127.
↑ Encyclopedia of Mathematics, 1977-1985 .
↑ Matsumura, 1970 , s. 6.
↑ Atiyah, MacDonald, 1994 , s. 5.
↑ Peirce, 1870 .
↑ Milies, Sehgal, 2002 .
↑ Rogers, 2000 , s. 3703-3714.
↑ Witten, 1982 , s. 661-692.
↑ Rowlands, 2007 .

Litteratur

Matematisk encyklopædi / I. M. Vinogradov. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977-1985.

Cesar Polcino Milies, Sudarshan R. Sehgal. En introduktion til grupperinge. - Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 2002. - ISBN 978-1-4020-0238-0 .
Hideyuki Matsumura. Kapitel 1: Elementære resultater // Kommutativ algebra. - W. A. Benjamin, 1970. - ISBN 978-0-805-37025-6 .
Atiyah MF, MacDonald IG Kapitel 1: Ringe og idealer // Introduktion til kommutativ algebra. - Westview Press, 1994. - ISBN 978-0-201-40751-8 .
- Atiyah M., McDonald I. Introduktion til kommutativ algebra. - Moskva: Mir, 1972.
Peirce B. Lineær Associativ Algebra. — 1870.
A. Rogers. Den topologiske partikel og Morse-teori // Klasse. Kvantegrav. - 2000. - Udgave. 17 . - doi : 10.1088/0264-9381/17/18/309 .
E. Witten. Supersymmetri og morseteori // J.Diff.Geom. - 1982. - Udgave. 17 .
Rowlands P. Zero to Infinity: The Foundations of Physics. - London: World Scientific, 2007. - ISBN 978-981-270-914-1 .