Nilpotent ideel

Et nilpotent ideal er et ideal for en ring, for hvilket der findes et naturligt tal , således at [1] ( er en additiv undergruppe genereret af mængden af alle produkter fra elementerne i idealet , dvs. et ideal er nilpotent, hvis og kun hvis der eksisterer et naturligt tal , således at produktet af et hvilket som helst element i idealet er lig med 0. Begrebet et nilpotent ideal er af størst interesse i tilfælde af ikke -kommutative ringe . $jeg$ $R$ $k$ $I^{k}=0$ ${\displaystyle I^{k))$ $k$ $jeg$ $k$ $k$ $jeg$

I en ring af rester modulo , hvor er et eller andet primtal, er alle andre idealer end ringen selv nilpotente. I ringen af øvre trekantede matricer over et eller andet felt danner matricerne med nuller på hoveddiagonalen et nilpotent ideal. $\mathbb{Z } _{{p^{n}}}$ $p^{n}$ $s$

Ethvert element i et nilpotent ideal er nilpotent . I en kommutativ ring er ethvert nilpotent element indeholdt i et eller andet nilpotent ideal, for eksempel i det principielle ideal, der genereres af dette element. En ikke-kommutativ ring kan indeholde nilpotente elementer, der ikke er indeholdt i noget nilpotent ideal (eller endda et nul-ideal).

I en finitdimensional Lie-algebra eksisterer der et maksimalt nilpotent ideal bestående af elementer, for hvilke endomorfien er nilpotent. $g$ $x\in g$ $y\to [x,y]$ $y\in g$

Forbindelse med nul-idealer

Ethvert nilpotent ideal er et nil-ideal , det omvendte er ikke sandt i det generelle tilfælde, men i nogle klasser er disse begreber sammenfaldende. Nul-idealet er ikke nødvendigvis nilpotent af flere grunde: For det første er der muligvis ikke en global øvre grænse for eksponenten for at sætte forskellige elementer af nul-idealet til nul, og for det andet giver hvert element, der er nilpotent, ikke nødvendigvis et nulprodukt ved multiplikation af forskellige elementer [1] .

I den højre artiniske ring er ethvert nul-ideal nilpotent [2] . Dette bekræftes af følgende observation: ethvert nul-ideal er indeholdt i ringens Jacobson-radikal , og det faktum, at Jacobson-radikalen er et nilpotent ideal (på grund af Artins formodning) indebærer den nødvendige påstand. Faktisk kan dette udsagn generaliseres til højre noetherske ringe , dette resultat er kendt som Levitskys sætning [3] .

Noter

↑ 1 2 Isaacs, 1993 , s. 194.
↑ Isaacs, 1993 , s. 195 Følge 14.3.
↑ Herstein, 1968 , s. 37 Sætning 1.4.5.

Litteratur

I Herstein. Ikke-kommutative ringe. - The Mathematical Association of America, 1968. - ISBN 0-88385-015-X .
- Herstein I. Ikke-kommutative ringe / Oversat af E.N. Kuzmin. - M . : "Mir", 1972.
I. Martin Isaacs. Algebra, et kandidatkursus. — Brooks/Cole Publishing Company, 1993. — ISBN 0-534-19002-2 .
Leng S. Algebra. - M. , 1968.
Jacobson N. Ringenes opbygning. - M. , 1961.
Face K. Algebra: ringe, moduler og kategorier. - M. , 1977. - T. 1.
Bourbaki N., Lie-grupper og algebraer. Lie-algebraer, fri Lie-algebraer og Lie-grupper, trans. fra French, M., 1978.