Pidos ulighed

Pidot-uligheden (også Pidot-Neuberg- uligheden) er en ulighed i geometri opkaldt efter Daniel Pidot (1910-1998) og Joseph Neuberg (1840-1926). Uligheden siger, at hvis , , og , , er længderne af siderne af trekanter og , a og er deres arealer, så $-en$ $b$ $c$ $en'$ $b'$ $c'$ $ABC$ $A'B'C'$ $S$ $S'$

a^{2}(-{a'}^{2}+{b'}^{2}+{c'}^{2})+b^{2}({a'}^{ 2}-{b'}^{2}+{c'}^{2})+c^{2}({a'}^{2}+{b'}^{2}-{c'} ^{2})\geq 16SS',

og lighed opnås, hvis og kun hvis disse trekanter er ens med par af tilsvarende sider , og . $(a,a')$ $(b,b')$ $(c,c')$

Udtrykket til venstre er ikke kun symmetrisk for permutationer af parrene , og , men også (hvilket måske ikke er så indlysende) forbliver uændret hvis og , og , og ombyttes . Med andre ord er udtrykket til venstre en symmetrisk funktion af et trekanterpar. $(a,a')$ $(b,b')$ $(c,c')$ $-en$ $en'$ $b$ $b'$ $c$ $c'$

Et særligt tilfælde af Pidos ulighed, hvor en af trekanterne er ligesidet , er Weizenbocks ulighed .

Pido opdagede denne ulighed i 1941 og publicerede den i flere artikler. Han erfarede senere, at uligheden allerede var kendt af Neuberg i det 19. århundrede, som dog ikke beviste, at lighed indebærer ligheden mellem to trekanter.

Litteratur

Daniel Pedoe: En ulighed, der forbinder to trekanter . The Mathematical Gazette, Vol. 25, nr. 267 (dec., 1941), s. 310-311 ( JSTOR Arkiveret 18. august 2016 på Wayback Machine )
Daniel Pedoe: En to-trekant ulighed . The American Mathematical Monthly , bind 70, nummer 9, side 1012, november, 1963.
Daniel Pedoe: En ulighed for to trekanter . Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, bind 38, del 4, side 397, 1943.
Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities . MAA, 2009, 978-0-88385-342-9, s. 108 Arkiveret 18. august 2016 på Wayback Machine
DS Mitrinović, Josip Pečarić: Om Neuberg-Pedoe og Oppenheim-ulighederne . Journal of Mathematical Analysis and Applications 129(1):196-210 januar 1988 ( online kopi Arkiveret 7. august 2016 på Wayback Machine )