Kolmogorovs ulighed

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 8. marts 2015; checks kræver 15 redigeringer .

Kolmogorovs ulighed er en generalisering af den probabilistiske version af Chebyshevs ulighed , som begrænser sandsynligheden for, at partialsummen af et endeligt sæt af uafhængige stokastiske variable ikke overstiger et eller andet fast tal. Etableret af Andrei Kolmogorov i midten af 1920'erne og anvendt af ham for at bevise den stærke lov om store tal .

Formulering [1] : For uafhængige tilfældige variable defineret på et fælles sandsynlighedsrum med matematiske forventninger og varianser og en vilkårlig variabel , gælder følgende: $(\Omega ,\F,\ Pr)$ $X_{1},\dots ,X_{n}\ :\Omega \to R$ $MX_{i}=0,i\leqslant n$ $Var[X_{i}]<+\infty$ $\lambda >0$

\Pr \left(\max _{1\leqslant k\leqslant n}|S_{k}|\geqslant \lambda \right)\leqslant {\frac {1}{\lambda ^{2))} \operatørnavn {Var} [S_{n}]\equiv {\frac {1}{\lambda ^{2))}\sum _{k=1}^{n}\operatørnavn {Var} [X_{i} ]

(en)

hvor . ${\displaystyle S_{k}=X_{1}+\dots +X_{k))$

Hvis desuden $\Pr(|X_{i}|\leqslant c)=1,i\leqslant n$

\Pr \left(\max _{1\leqslant k\leqslant n}|S_{k}|\geqslant \lambda \right)\geqslant 1-{\frac {(\lambda +c)^{2 }}{\operatørnavn {Var} [S_{n}]}}

(2)

Bevis

Betegn

{\displaystyle A=\{\max _{1\leqslant k\leqslant n}|S_{k}|\geqslant \lambda \))

A_{k}=\{|S_{i}|<\lambda ,i=1,...,k-1,|S_{k}|\geqslant \lambda \},1\leqslant k\ leqslant n

Så og ${\displaystyle A=\sum A_{k))$

MS_{n}^{2}\geqslant MS_{n}^{2}I_{A}=\sum _{k=1}^{n}{MS_{n}^{2}I_{A_ {k}}}

(Hvor er indikatoren )

jeg

Men

MS_{n}^{2}I_{A_{k}}=M\left(S_{k}+\left(X_{k+1}+...+X_{n}\right)\ højre)^{2}I_{A_{k}}=

=MS_{k}^{2}I_{A_{k))+2MS_{k}\venstre(X_{k+1}+...+X_{n}\right)I_{A_{k }}+M\venstre(X_{k+1}+...+X_{n}\right)^{2}I_{A_{k}}\geqslant MS_{k}^{2}I_{A_{ k}},

da , i kraft af den forudsatte uafhængighed og betingelser derfor, $MS_{k}\left(X_{k+1}+...+X_{n}\right)I_{A_{k}}=MS_{k}I_{A_{k}}M\venstre (X_{k+1}+...+X_{n}\right)=0$ $MX_{i}=0,i\leqslant n$

\sum _{k=1}^{n}Var[X_{i}]=MS_{n}^{2}\geqslant \sum _{k=1}^{n}MS_{n}^ {2}I_{A_{k}}\geqslant \sum _{k=1}^{n}MS_{k}^{2}I_{A_{k}}\geqslant \lambda ^{2}\sum _ {k=1}^{n}MI_{A_{k}}=\lambda ^{2}\sum _{k=1}^{n}\Pr(A_{k})=\lambda ^{2} Pr(A)

som beviser uligheden 1 .

For at bevise ulighed 2 skal du bemærke det

MS_{n}^{2}I_{A}=MS_{n}^{2}-MS_{n}^{2}I_{\bar {A}}\geqslant MS_{n}^{2 }-\lambda ^{2}Pr({\bar {A)))=MS_{n}^{2}-\lambda ^{2}+\lambda ^{2}Pr(A)

(3)

På den anden side på settet $A_k$

|S_{k-1}|\leqslant \lambda ,|S_{k}|\leqslant |S_{k-1}|+|X_{k}|\leqslant \lambda +c

og derfor,

MS_{n}^{2}I_{A}=\sum _{k}MS_{k}^{2}I_{A_{k))+\sum _{k}M(I_{A_{ k}}(S_{n}-S_{k})^{2})\leqslant (\lambda +c)^{2}\sum _{k}Pr(A_{k})+\sum _{k =1}^{n}Pr(A_{k})\sum _{j=k+1}^{n}MX_{j}^{2}\leqslant

\leqslant \Pr(A)\left[(\lambda +c)^{2}+\sum _{j=1}^{n}MX_{j}^{2}\right]=Pr( A)\venstre[(\lambda +c)^{2}+MS_{n}^{2}\right]

(fire)

Fra (3) og (4) finder vi, at:

Pr(A)\geqslant {\frac {MS_{n}^{2}+\lambda ^{2}}{(\lambda +c)^{2}+MS_{n}^{2}- \lambda ^{2))}=1-{\frac {(\lambda +c)^{2}}{(\lambda +c)^{2}+MS_{n}^{2}-\lambda ^ {2}}}\geqslant 1-{\frac {(\lambda +c)^{2}}{MS_{n}^{2}}}=1-{\frac {(\lambda +c)^{ 2}}{\operatørnavn {Var} [S_{n}]}}

Noter

↑ Henneken, 1974 , s. tredive.

Litteratur

Billingsley, Patrick. Sandsynlighed og Mål (neopr.) . New York: John Wiley & Sons, Inc. , 1995. - ISBN 0-471-00710-2 . (Sætning 22.4)
Feller, William . AnIntroduction to Probability Theory and its Applications, Vol 1 . — Tredie Udgave. New York: John Wiley & Sons, Inc. , 1968. - P. xviii + 509. — ISBN 0-471-25708-7 .
Henneken P. L., Tortra A. Sandsynlighedsteori og nogle af dens anvendelser. — M .: Nauka, 1974. — 472 s.
Shiryaev A. N. Sandsynlighed. - 3. udg., revideret. og yderligere .. - M . : MTSNMO , 2004. (kapitel 4 § 2 stk. 1)