Instrueret sæt

En rettet mængde  er en ikke-tom mængde A med en refleksiv transitiv relation ≤ defineret på sig (det vil sige en forudbestilling ), som har en yderligere egenskab: ethvert elementpar fra A har en øvre grænse i A .

Styrede mængder er en generalisering af lineært ordnede mængder , det vil sige, at ethvert lineært ordnet sæt er rettet (for et delvist ordnet sæt er dette generelt ikke sandt). I topologi bruges rettede sæt til at definere retninger , som er en generalisering af en sekvens og forener ideen om en grænse, der bruges i kalkulation .

Eksempler

Eksempler på instruerede sæt:

• Mængden af ​​naturlige tal N med standardrelationen ≤ er en rettet mængde.
• Et sæt af N N par naturlige tal bliver et rettet sæt, hvis relationen er defineret som følger: ( n 0 , n 1 ) ≤ ( m 0 , m 1 ) hvis og kun hvis n 0 ≤ m 0 og n 1 ≤ m 1 .
• Sættet af partitioner af intervallet i dette tilfælde, hvis partitionen er en underopdeling af .
• Hvis x 0  er et reelt tal , kan vi lave et rettet sæt ud af R : a ≤ b hvis og kun hvis
  | a − x 0 | ≥ | b − x 0 |. Dette er et eksempel på et instrueret sæt, der ikke er delvist bestilt .
• Et trivielt eksempel på en delvis ordnet mængde , der ikke er rettet, er mængden { a , b }, hvor kun relationerne a ≤ a og b ≤ b er defineret .
• Hvis T  er et topologisk rum, og x 0  er et punkt i T , så kan vi definere en retning på sættet af kvarterer x 0 som følger: U ≤ V hvis og kun hvis U indeholder V .
  • For alle U : U ≤ U ; da U indeholder sig selv.
  • For alle U , V , W : hvis U ≤ V og V ≤ W , så U ≤ W ; da hvis U indeholder V og V indeholder W , så indeholder U W.
  • For alle U , V : der er et sæt U V , således at U ≤ U V og V ≤ U V ; da både U og V indeholder U V .
• I en poset P er mængden af ​​nedre grænser for et eller andet element af P , det vil sige en mængde af formen { a | a fra P , a ≤ x } hvor x  er et fast element fra P , er et rettet sæt.

Direkte undersæt

Retningsrelationen er muligvis ikke antisymmetrisk , og derfor er rettede sæt ikke altid delvist ordnede . Udtrykket rettet sæt bruges dog også ofte i forbindelse med delvist ordnede sæt. Således kaldes en delmængde A af et delvist ordnet mængde ( P ,≤) en rettet delmængde , hvis A er ikke-tom, og for alle a og b fra A eksisterer der c fra A , således at a ≤ c og b ≤ c . Her nedarves ordensrelationen på elementer fra A fra P ; derfor kræves refleksivitet og transitivitet ikke eksplicit.

Litteratur

• Engelking, R. Generel topologi. — M .: Mir , 1986. — 752 s.
• L. V. Kantorovich og G. P. Akilov Funktionel analyse. — M .: Nauka, 1984. — 752 s.