Gratis elektron model

Den frie elektronmodel , også kendt som Sommerfeld-modellen eller Drude-Sommerfeld-modellen, er en simpel kvantemodel af opførsel af valenselektroner i et metalatom , udviklet af Arnold Sommerfeld baseret på den klassiske Drude-model , under hensyntagen til Fermi -Dirac kvantemekaniske statistikker. Metallets elektroner behandles i denne model som en Fermi-gas .

Forskellen mellem Sommerfeld-modellen og Drude-modellen er, at ikke alle metallets valenselektroner deltager i kinetiske processer, men kun dem, der har energi inden for området af Fermi-energien , hvor er Boltzmann-konstanten , T er temperaturen. Denne begrænsning udspringer af Pauli-princippet , som forbyder elektroner at have de samme kvantetal . Som følge heraf fyldes lavenergitilstandene ved endelige temperaturer, hvilket forhindrer elektronerne i at ændre deres energi eller bevægelsesretning. $k_{B}T$ $k_B$

På trods af sin enkelhed forklarer modellen mange forskellige fænomener, herunder:

Wiedemann-Franz-loven ;
temperaturafhængighed af varmekapacitet ;
elektrisk ledningsevne ;
termionisk emission ;
form af tætheden af tilstande af elektroner;
rækken af bindingsenergier.

Hovedideer og antagelser

Hvis elektronerne i et metal i Drude-modellen blev opdelt i bundet og frit, så er elektronerne i kvantemekanikken, på grund af princippet om partiklers identitet, kollektiviserede og tilhører hele det faste legeme. Kernerne af metalatomer danner et periodisk krystalgitter, hvor elektronernes tilstande ifølge Blochs sætning er karakteriseret ved et kvasi-momentum . Energispektret af metalelektroner er opdelt i zoner, hvoraf den vigtigste er det delvist fyldte ledningsbånd dannet af valenselektroner.

Sommerfelds model specificerer ikke spredningsloven for elektroner i ledningsbåndet, idet det kun antages, at afvigelser fra den parabolske spredningslov for frie partikler er ubetydelige. I den indledende tilnærmelse negligerer teorien elektron-elektron-interaktionen, idet elektroner betragtes som en ideel gas. Men for at forklare kinetiske processer, såsom elektrisk og termisk ledningsevne, spredning af elektroner på hinanden, på vibrationer i krystalgitteret og defekter, skal det tages i betragtning. Når man overvejer disse fænomener, er det vigtigt at kende partiklernes energifordeling. Derfor bruges Boltzmann-ligningen til at beskrive elektronkinetikken . Det elektrostatiske felt inde i lederen anses for at være svagt på grund af afskærmningen.

Energi og bølgefunktion af en fri elektron

Schrödinger-ligningen for en fri elektron har formen [1] [2] [3]

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)

Bølgefunktionen kan opdeles i rumlige og tidsmæssige dele. Løsningen til den tidsafhængige ligning er $\Psi (\mathbf {r} ,t)$

{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-i\omega t))

med energi

E=\hbar \omega

Løsningen af den rumlige, tidsuafhængige del er

\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {\Omega _{r))))e^{i\mathbf {k} \ cdot \mathbf {r} }

med bølgevektor . har det rumfang, hvor en elektron kan være. Den kinetiske energi af en elektron er givet ved ligningen: $\mathbf {k}$ ${\displaystyle \Omega _{r))$

E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}

Den plane bølgeløsning af denne Schrödinger-ligning er

\Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\sqrt {\Omega _{r))))e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t}

Faststoffysik og kondenseret stoffysik beskæftiger sig hovedsageligt med tidsuafhængige løsninger . $\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )$

Ved at tage højde for periodiciteten af krystalgitteret ifølge Bloch-sætningen ændres denne funktion til

\Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\sqrt {\Omega _{r))))\phi (\mathbf {r} )e^{i\mathbf { k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t}

hvor er en periodisk funktion. Energiens afhængighed af bølgevektoren ændres også. For at tage højde for disse modifikationer, er forskellige model Hamiltonianere meget brugt, for eksempel: tilnærmelse af næsten frie elektroner, den tætte koblingstilnærmelse og så videre. $\phi (\mathbf {r} )$

Fermi energi

Pauli-princippet forbyder elektroner at have bølgefunktioner med de samme kvantetal. For en elektron beskrevet af en Bloch-bølge er quasi-momentum og spin kvantetal. Elektrongassens grundtilstand svarer til den situation, hvor alle en-elektrontilstande med den laveste energi er fyldt op til en bestemt energi , som kaldes Fermi-energien. For den parabolske zone er energien givet som $E_F$

E(\mathbf {k} )={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}

sådan fyldning betyder, at alle tilstande med en bølgevektor mindre end , , som kaldes Fermi-bølgevektoren, er optaget. Fermi-vektoren er $|\mathbf {k} |<k_{F}$ $k_{F}$

k_{F}=(3\pi ^{2}N_{e}/V)^{1/3}

hvor er det samlede antal elektroner i systemet, og V er det samlede volumen. Derefter Fermi-energien $N_e$

E_{F}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3\pi ^{2}N_{e}}{V}}\right)^ {2/3}

Ved tilnærmelse af næsten frie elektroner bør valensmetallet erstattes af , hvor er det samlede antal metalioner. $Z$ $N_e$ $NZ$ $N$

Energifordeling af elektroner

Ved ikke-nul temperatur er metallets elektroniske delsystem ikke i jordtilstand, men forskellen vil dog forblive relativt lille, hvis , hvilket normalt er tilfældet. Sandsynligheden for, at en en-elektrontilstand med energi E vil blive optaget, er givet af Fermi-funktionen $k_{B}T\ll E_{F}$

f(E)={\frac {1}{e^{(E-E_{F})/k_{B}T}+1}}

hvor er Fermi niveauet. Ved absolut nultemperatur , hvor er det kemiske potentiale . $E_{F}$ $E_{F}=\mu$ $\mu$

Teoriens forudsigelser

Modellen giver dig mulighed for korrekt at beskrive en række egenskaber ved metaller og deres ændringer forbundet med temperatur.

Varmekapacitet

Ved opvarmning overføres energi til metallets elektroner. Imidlertid kan elektroner, hvis energi er mindre end Fermi-energien, ikke ændre deres tilstand. For at gøre dette skulle de gå til en tilstand med en højere energi, som allerede med stor sandsynlighed er optaget af en anden elektron, og Pauli-princippet forbyder dette. Derfor kan kun elektroner med energier tæt på Fermi-energien modtage energi. Der er få sådanne elektroner, ca. Derfor er bidraget fra det elektroniske delsystem til metallets varmekapacitet ved høje temperaturer lille sammenlignet med bidraget fra krystalgitterets atomer. $N_{e}k_{B}T/E_{F}\ll N_{e}$

Situationen ændrer sig ved lave temperaturer, lavere end Debye-temperaturen , når gitterets varmekapacitet er proportional med , mens varmekapaciteten i det elektroniske delsystem er proportional med . Så dominerer elektronernes bidrag til varmekapaciteten, og metallets varmekapacitet er i modsætning til dielektrikum proportional med temperaturen. $T^{3}$ $T$

Elektrisk ledningsevne

Sommerfeld-modellen hjalp med at overvinde problemet med Drude-modellen med værdien af den gennemsnitlige frie vej af elektroner. I Drude-modellen er den elektriske strømtæthed givet af formlen

\mathbf {j} =n{\frac {e^{2}\tau }{m}}\mathbf {E}

hvor er elektrontætheden og er afslapningstiden. Hvis det er lig med antallet af valenselektroner i et fast stof, skal afslapningstiden og dermed elektronvejen være lille for at opnå reelle værdier af metallers ledningsevne, hvilket er i modstrid med den ideelle gasteori. I Sommerfeld-modellen er fraktionen af elektroner med energier tæt på Fermi-energien. Den er proportional med en lille værdi . Så er der relativt få elektroner, der kan accelereres af et elektrisk felt i metallet, men deres vejlængde er stor. $n$ $\tau$ $n$ $n$ $k_{B}T/E_{F}$

Noter

↑ Albert Messias. Kvantemekanik (neopr.) . - Dover Publications , 1999. - ISBN 0-486-40924-4 .
↑ Stephen Gasiorowicz . Kvantefysik (neopr.) . - Wiley & Sons , 1974. - ISBN 0-471-29281-8 .
↑ Eugene Merzbacher. Kvantemekanik (neopr.) . — 3. - Wiley & Sons , 2004. - ISBN 978-9971-5-1281-1 .

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk norsk Britannica (online) Britannica (online)