Laurent polynomium

Et Laurent -polynomium af en variabel over et felt er en lineær kombination af positive og negative potenser af variablen med koefficienter fra . Laurent-polynomiet adskiller sig fra almindelige polynomier ved, at eksponenten kan være negativ. Laurent-polynomier er af særlig interesse at studere i teorien om funktioner af en kompleks variabel ( se Laurent-serien ). $\mathbb {F}$ $\mathbb {F}$

Definition

Et Laurent-polynomium med koefficienter fra et felt er et udtryk for formen $\mathbb {F}$

p=\sum _{k}p_{k}X^{k},\quad p_{k}\in \mathbb {F} ,

hvor X er en formel variabel, er et heltal (ikke nødvendigvis positivt), og kun et endeligt tal er ikke-negative. $k$ $p_{k}$

To Laurent-polynomier er ens, hvis deres respektive koefficienter er ens. Laurent-polynomier kan adderes og ganges ligesom almindelige polynomier, men vær opmærksom på, at der kan være negative potenser af X

\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)+\left(\sum _{i}b_{i}X^{i}\right)=\sum _ {i}(a_{i}+b_{i})X^{i}

\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k}\left(\sum _{i,j:i+j=k}a_{i}b_{j}\right)X^{k}.

Fordi antallet af ikke-negative koefficienter og er endeligt, så vil alle summer have et endeligt antal led og vil således vise Laurent-polynomiet. $a_{j}$ $b_{j}$

Egenskaber

Et Laurent-polynomium over et felt kan ses som en Laurent-serie med et endeligt antal ikke-negative koefficienter. $\mathbb {C}$
Laurent-polynomialringen er en underring af ringen af rationelle brøkfunktioner .

Litteratur

Leng S. Algebra. — M .: Mir, 1968. — 564 s.