| Schönhardt polyeder | ||
|---|---|---|
| Schoenhardt polyeder | ||
| Type | ikke-konveks polyeder | |
| Ejendomme |
Ikke -konveks Ingen indvendige diagonaler Ikke-triangulariserbare |
|
| Kombinatorik | ||
| Elementer |
|
|
| Facetter | 8 trekanter | |
Schoenhardt-polyederet er det enkleste ikke -konvekse polyeder , der ikke kan trianguleres af tetraeder uden at tilføje nye hjørner. Polyederet er opkaldt efter den tyske matematiker Erich Schönhardt , som byggede det i 1928 .
Schoenhardt-polyederet kan konstrueres ved hjælp af to kongruente regulære trekanter på to parallelle planer, således at linjen trukket gennem trekanternes midtpunkter er vinkelret på planerne. De to trekanter skal roteres i forhold til hinanden, så de hverken er en parallel translation af hinanden eller en 180º rotation.
Det konvekse skrog af disse to trekanter danner et konveks polyeder , som kombinatorisk svarer til et regulært oktaeder . Sammen med kanterne på de oprindelige trekanter har polyederet seks kanter, der forbinder disse to trekanter, af to forskellige længder og tre indre diagonaler . Schoenhardt polyhedron opnås ved at fjerne de længere forbindelseskanter og erstatte dem med tre konvekse skrogdiagonaler.
Schoenhardt polyhedron kan også dannes ved at fjerne tre tetraedre fra det konvekse skrog. Hvert tetraeder, der skal fjernes, er det konvekse skrog af fire hjørner af to trekanter, to fra hver. Denne fjernelse resulterer i udskiftning af de lange forbindelseskanter med tre nye kanter med konkave dihedriske vinkler , hvilket resulterer i et ikke-konveks polyeder.
Schoenhardt-polyederet er kombinatorisk ækvivalent med et regulært oktaeder . Det vil sige, at dets spidser, kanter og flader kan være en-til-en forbundet med spidserne, kanterne og fladerne på et regulært oktaeder. Men i modsætning til et almindeligt oktaeder har tre kanter konkave dihedriske vinkler, og disse tre kanter danner en perfekt matchning af oktaedergrafen. Dette faktum er afgørende for at bevise fraværet af triangularisering.
De seks hjørner af Schoenhardt polyhedron kan bruges til at opnå femten uordnede par af hjørner. Tolv af disse femten par danner kanterne på polyederet - seks er kanterne på to regelmæssige trekantede flader, og seks kanter forbinder de to trekanter. De resterende tre kanter danner polyederens diagonaler , men de ligger helt uden for polyederet.
Det er ikke muligt at opdele Schönhardt-polytopen i tetraedre , hvis spidser er spidserne af polytopen. Desuden er der ikke noget tetraeder, der ligger helt inde i Schoenhardt-polyederet og har polyederens spidser som spidser. Blandt alle fire hjørner af en Schoenhardt-polytop skal mindst ét par være en diagonal af polytopen, og diagonalerne ligger helt uden for polytopen.
Ruppert og Seidel [1] brugte Schoenhardt-polytopen som grundlag for at bevise NP-fuldstændighed for at kontrollere, at en ikke-konveks polytop kan trianguleres.