Sophomore Dream (Math Identity)

I matematik er en sophomore's dream eller en sophomore 's dream ( eng. sophomore - a sophomore in the USA ) et par identiteter :

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}x^{-x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n))$

$\int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}n^{-n }=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}$

Historie

Identiteter opdaget i 1697 af Johann Bernoulli . De numeriske værdier af disse konstanter er henholdsvis cirka 1,291285997 og 0,7834305107.

Navnet "anden andens drøm" kom senere. Det er en reference til "freshman's dream", som igen betyder den spøgende misidentitet (x + y) n = x n + y n . Men i modsætning til ham er den andenårs drøm et par ægte identiteter [1] .

Bevis

Beviserne for disse identiteter er fuldstændig analoge, så kun én af dem præsenteres her.

Lad os først forestille os : $x^{x}$

$x^{x}=\exp(x\log x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n)) {n!}}$ .

Derefter

$\int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\int \limits _{0}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}dx$ .

Ved egenskaben af ensartet konvergens af potensrækker kan summeringen og integralet ombyttes. Vi får:

$\int \limits _{0}^{1}x^{x}dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}dx$ .

For at opnå integralerne præsenteret ovenfor, erstatter vi variablen . Efter denne udskiftning omdannes de integrerede grænser til , hvilket giver os: $x=\exp \left(-{\frac {u}{n+1}}\right)$ $0<u<\infty$

$\int \limits _{0}^{1}x^{n}(\log x)^{n}dx=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+ 1 )}\int \limits _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}du$ .

Ved Eulers integrerede identitet for gammafunktionen :

$\int \limits _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}du=n!$ ,

dermed:

$\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!)}}dx=(-1)^{n} ( n+1)^{-(n+1)}$ .

Ved at opsummere og ændre indekseringen (det starter med n=1, ikke med n=0), får vi den ønskede identitet.

Versioner af beviser

Det originale bevis, givet af Bernoulli [2] og præsenteret i sin moderne form [3] , adskiller sig fra ovenstående med hensyn til beregning af integralet , men er ellers identisk bortset fra de tekniske detaljer. I stedet for at integrere ved substitution ved hjælp af Gamma-funktionen (som endnu ikke var kendt på tidspunktet for beviset), brugte Bernoulli integration af dele . $\int _{0}^{1}x^{n}(\log \,x)^{n}\,dx$

Noter

↑ Borwein, Jonathan; Bailey, David H. & Girgensohn, Roland (2004), Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery , s. 4, 44, ISBN 978-1-56881-136-9
↑ Johann Bernoulli, 1697, samlet i Johannis Bernoulli, Opera omnia, bd. 3, s. 376-381
↑ Dunham, William (2005), 3: The Bernoullis (Johann og ), The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue , Princeton, NJ: Princeton University Press, s. 46-51, ISBN 978-0-691-09565-3 $x^{x}$