Karakteristisk metode

Karakteristikmetoden er en metode til løsning af partielle differentialligninger . Det anvendes normalt på løsningen af førsteordens partielle differentialligninger, men det kan også anvendes på løsningen af hyperbolske ligninger af højere orden .

Princip

Metoden består i at reducere den partielle differentialligning til en familie af almindelige differentialligninger .

Dette kræver, at man finder kurver (kaldet karakteristika ), langs hvilke den partielle differentialligning bliver til en almindelig differentialligning. Så snart de almindelige differentialligninger er fundet, kan de løses langs karakteristikkerne, og den fundne løsning kan omdannes til en løsning af den oprindelige partielle differentialligning.

Eksempler

Kvasilineær ligning i planet

Overvej følgende kvasilineære ligning med hensyn til den ukendte funktion $u(x,y)$

a(x,y,u)\cdot u_{x}+b(x,y,u)\cdot u_{y}=c(x,y,u).

Overvej en overflade i . Normalen til denne overflade er givet af $z=u(x,y)$ $\mathbb {R} ^{3}$

(u_{x}(x,y),u_{y}(x,y),-1).

Som et resultat opnår vi, at ligningen er ækvivalent med den geometriske sætning, som vektorfeltet

(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))

er tangent til overfladen i hvert punkt. $z=u(x,y)$

I dette tilfælde kan de karakteristiske ligninger skrives som [1] :

{\frac {dx}{a(x,y,z)}}={\frac {dy}{b(x,y,z)}}={\frac {dz}{c(x,y,z )}},

eller, hvis x ( t ), y ( t ), z ( t ) er funktioner af parameteren t :

{\begin{array}{rcl}{\frac {dx}{dt}}&=&a(x,y,z)\\{\frac {dy}{dt}}&=&b(x,y,z )\\{\frac {dz}{dt}}&=&c(x,y,z).\end{array}}

Det vil sige, at overfladen er dannet af en én-parameter familie af beskrevne kurver. En sådan overflade er fuldstændigt defineret af en enkelt kurve på tværs af vektorfeltet på den . $z=u(x,y)$ $(a,b,c)$

Transportligningen

Overvej et særligt tilfælde af ligningen ovenfor, den såkaldte transportligning (den opstår, når man løser problemet med fri udvidelse af gas til et tomrum):

a\cdot u_{x}+u_{t}=0

hvor er en konstant og er en funktion af variable og . $-en$ $u$ $x$ $t$

Vi vil gerne reducere denne førsteordens partielle differentialligning til en almindelig differentialligning langs den tilsvarende kurve, det vil sige at opnå en ligning af formen

{\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))=F(u,x(s),t(s))

hvor er en funktion. $(x(s),t(s))$

Først sætter vi

{\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {dx}{ds}}+{\ frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {dt}{ds}}

Nu, hvis vi sætter og , får vi ${\frac {dx}{ds}}=a$ ${\frac {dt}{ds}}=1$

a{\frac {\partial u}{\partial x))+{\frac {\partial u}{\partial t))

, som er venstre side af den transportligning, vi startede med. På denne måde

{\frac {d}{ds}}u=a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0.

Som du kan se, bliver den oprindelige ligning til en ODE langs karakteristikken , hvilket betyder, at løsningen er konstant langs karakteristikken. Således, , hvor de punkter og ligger på samme karakteristika. Det kan ses, at for at finde den generelle løsning, er det tilstrækkeligt at finde ligningens karakteristika ved at løse følgende system af ODE'er: $(x(s),t(s))$ $u_{s}=F(u,x(s),t(s))=0$ $u(x_{s},t_{s})=u(x_{0},0)$ $(x_{s},t_{s})$ $(x_{0},0)$

${\frac {dt}{ds}}=1$ når løsningen er , $t(0)=0$ $t=s$
${\frac {dx}{ds}}=a$ når løsningen er , $x(0)=x_{0}$ ${\displaystyle x=as+x_{0}=at+x_{0))$
${\frac {du}{ds}}=0$ , når løsningen er . $u(0)=f(x_{0})$ $u(x(t),t)=f(x_{0})=f(x-at)$

I vores tilfælde er egenskaberne en familie af linjer med hældning , og løsningen forbliver konstant langs hver af egenskaberne. $-en$ $u$

Udtalelse af Cauchy-problemet

For at vælge en bestemt løsning fra en generel er det nødvendigt at stille Cauchy-problemet, som i tilfældet med almindelige differentialligninger. Starttilstanden er givet på den initiale hyperflade S:

$u|_{S}=f(x)$

I det generelle tilfælde er det næsten umuligt at formulere en betingelse for Cauchy-problemets globale løselighed, men hvis vi begrænser os til betingelsen om lokal løselighed, kan vi bruge følgende teorem:

En løsning af Cauchy-problemet i et område af et punkt eksisterer og er unik, hvis karakteristikken, der passerer igennem, er på tværs af overfladen S [2] $x_{0}\in S$ ${\displaystyle x_{0))$

Noter

↑ Delgado, 1997
↑ E. A. Kuznetsov, D. A. Shapiro METODER FOR MATEMATISK FYSIK. Del I - PDF Gratis download . docplayer.ru Hentet: 19. januar 2020. (ubestemt)

Litteratur

Courant, Richard & Hilbert, David (1962), Methods of Mathematical Physics, bind II , Wiley-Interscience
Delgado, Manuel (1997), The Lagrange-Charpit Method , SIAM Review bind 39 (2): 298–304 , DOI 10.1137/S0036144595293534
Evans, Lawrence C. (1998), Partial Differential Equations , Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2
John, Fritz (1991), Partielle differentialligninger (4. udgave), Springer, ISBN 978-0-387-90609-6
polyanin, AD; Zaitsev, VF & Moussiaux, A. (2002), Handbook of First Order Partial Differential Equations , London: Taylor & Francis, ISBN 0-415-27267-X
Polyanin, AD (2002), Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9
Sarra, Scott (2003), The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws, Journal of Online Mathematics and its Applications .
Streeter, VL & Wylie, EB (1998), Fluid mechanics (International 9th Revised ed.), McGraw-Hill Higher Education