Selvkonsistent feltmetode

Mean field theory eller self-consistent field theory er en tilgang til at studere adfærden af store og komplekse stokastiske systemer i fysik og sandsynlighedsteori gennem studiet af simple modeller. Sådanne modeller overvejer adskillige små komponenter, der interagerer med hinanden. Indflydelsen af andre individuelle komponenter på et givet objekt tilnærmes ved en gennemsnitlig effekt, på grund af hvilken mange-legeme-problemet reduceres til et enkelt-partikel-problem.

Ideen blev først udviklet i fysik i værker af Pierre Curie [1] og Pierre Weiss , som beskrev faseovergangen [2] . Lignende tilgange har fundet anvendelse i epidemiske modeller [3] , køteori [4] , computernetværksanalyse og spilteori [5] .

Problemet med mange kroppe, under hensyntagen til interaktionen mellem dem, er vanskeligt at løse, bortset fra de enkleste tilfælde (teorien om tilfældige felter, den endimensionelle Ising-model ). Derfor er N -legeme-systemet erstattet af et en-partikel-problem med et velvalgt eksternt potentiale, som erstatter alle andre partiklers virkning med det valgte. Det er sværere (for eksempel ved beregning af fordelingsfunktionen i statistisk mekanik ) at tage højde for permutationer , når man beregner interaktionen i Hamiltonian, når man summerer over alle tilstande. Formålet med middelfeltteorien er at omgå den kombinatoriske tilgang. Inden for forskellige videnskabsområder er middelfeltteorien kendt under sine egne navne, blandt hvilke er Bragg-Williams tilnærmelse, Bethe-gittermodellen, Landau-teorien , Pierre-Weiss-tilnærmelsen, Flory-Guggins-løsningsteorien eller Schuytjens-Fleur teorien.

Hovedideen med middelfeltteorien er at erstatte alle handlinger på en valgt krop med en gennemsnitlig eller effektiv interaktion, som nogle gange kaldes et molekylært felt [6] . Dette reducerer ethvert mange-legeme-problem til et effektivt én-partikel-problem. Letheden ved at løse problemet med middelfeltteorien betyder at opnå en vis viden om systemets adfærd til en relativt lav pris.

I klassisk feltteori kan Hamilton-funktionen udvides til en serie ved at bruge størrelsen af fluktuationer nær middelfeltet som ekspansionsparameter. Middelfeltet kan så betragtes som den nulte orden af denne ekspansion. Det betyder, at middelfeltteorien ikke indeholder nogen udsving, men det svarer til, at vekselvirkningerne er erstattet af et middelfelt. Ganske ofte, i studiet af fluktuationer, er middelfeltteorien en affyringsrampe for studiet af fluktuationer af første eller anden orden.

Generelt er det stærkt dimensionsafhængigt at bestemme, hvor godt middelfelttilnærmelsen vil fungere for et bestemt problem. I middelfeltteori er talrige interaktioner erstattet af én effektiv handling. Så hvis feltet eller partiklen i det indledende system har mange interaktionspartnere, vil middelfeltteorien naturligvis være effektiv. Dette gælder for høje dimensioner, hvor Hamilton-funktionen omfatter kræfter med en stor aktionsradius, eller når partiklerne udvides (for eksempel polymerer). Ginzburg-kriteriet er et formelt udtryk for, hvordan fluktuationer gør middelfelttilnærmelsen dårlig, ofte afhængigt af systemets rumlige dimension.

Mens middelfeltteori har udviklet sig inden for statistisk mekanik, har den også fundet anvendelser på andre områder, såsom interferens, grafteori , neurovidenskab og studiet af kunstig intelligens .

Formel tilgang

Den formelle tilgang til middelfeltteori er baseret på Bogolyubovs ulighed . Hun siger, at den frie energi i et system med en Hamilton-funktion

{\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{0}+\Delta {\mathcal {H}}

har en øvre grænse

F\leq F_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle {\mathcal {H}}\rangle _{0}-TS_{0}

hvor er entropien , og gennemsnittet udføres over ligevægtsensemblet af systemet med Hamilton-funktionen . I et særligt tilfælde, når Hamilton-hovedfunktionen beskriver et system uden interaktion, og det derfor kan skrives som $S_{0}$ ${\mathcal {H}}_{0}$

{\mathcal {H}}_{0}=\sum _{i=1}^{N}h_{i}\left(\xi _{i}\right)

hvor er en forkortelse for frihedsgraden af individuelle komponenter i det statistiske system (atomer, spins, etc.), kan vi overveje justeringer af den øvre grænse ved at minimere højre side af uligheden. Minimering af hovedsystemet er så den bedste tilnærmelse til det givne. Det er kendt som middelfelttilnærmelsen. $\left(\xi _{i}\right)$

Oftest indeholder Hamilton-funktionen af det system, der skal undersøges, kun parvise interaktioner, dvs.

{\mathcal {H}}=\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}V_{i,j}\left(\xi _{i},\xi _{ j}\right)

hvor er sættet af parinteraktioner. Så kan minimeringsproceduren gennemføres formelt. Det er defineret som en generaliseret sum af observerbare over frihedsgrader af en komponent (summen for diskrete mængder, intergalen for kontinuerlige). Den frie energi gives cirka som ${\mathcal {P}}$ ${\rm {Tr))_{i}f(\xi _{i})$ $f$

$F_{0}=\,\!$	${\rm {Tr))_{1,2,..,N}{\mathcal {H))(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _ {N})P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})$
	$+kT\,{\rm {Tr}}_{1,2,..,N}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2}, ...,\xi _{N})\log P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})$

hvor er sandsynligheden for at finde hovedsystemet i en tilstand med variable . Denne sandsynlighed er givet af den normaliserede Boltzmann-faktor $P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})$ $(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})$

{\begin{aligned}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})&{}={ \frac {1}{Z_{0}^{(N)}}}e^{-\beta {\mathcal {H}}_{0}(\xi _{1},\xi _{2}, ...,\xi _{N})}\\&{}=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{Z_{0))}e^{-\beta h_ {i}\left(\xi _{i}\right)}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{i=1}^{N}P_{0}^{ (i)}(\xi _{i})\end{aligned}}

hvor er den statistiske sum. derefter ${\displaystyle Z_{0))$

{\begin{aligned}F_{0}=&{}\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P))}{\rm {Tr))_{i,j}V_ {i,j}\venstre(\xi _{i},\xi _{j}\right)P_{0}^{(i)}(\xi _{i})P_{0}^{(j )}(\xi _{j})\\&{}+kT\sum _{i=1}^{N}{\rm {Tr}}_{i}P_{0}^{(i)} (\xi _{i})\log P_{0}^{(i)}(\xi _{i}).\end{aligned}}

For minimering tages den afledte med hensyn til sandsynligheden for én frihedsgrad . Brug af ubestemte Lagrange-multiplikatorer til normalisering. Slutresultatet er et system af selvkonsistente ligninger ${\displaystyle P_{0}^{(i)))$

P_{0}^{(i)}(\xi _{i})={\frac {1}{Z_{0))}e^{-\beta h_{i}^{MF}( \xi _{i})}\qquad i=1,2,..,N

hvor middelfeltet er angivet som

h_{i}^{MF}(\xi _{i})=\sum _{\{j|(i,j)\i {\mathcal {P}}\}}{\rm {Tr }}_{j}V_{i,j}\left(\xi _{i},\xi _{j}\right)P_{0}^{(j)}(\xi _{j}).

Ansøgning

Middelfeltteorien kan anvendes på en række fysiske systemer ved at studere for eksempel faseovergange [7] .

Ising model

Lad Ising-modellen defineres på et d - dimensionelt gitter. Hamiltonianeren er givet som

{\displaystyle H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-h\sum _{i}s_{i))

hvor angiver summen over par af nærmeste naboer , og er spins af nærmeste naboer. $\sum _{\langle i,j\rangle }$ $\langle i,j\rangle$ $s_{i}=\pm 1$ $s_{j}$

Ved at indføre fluktuationsafvigelser fra middelværdien kan Hamiltonian omskrives $m_{i}\equiv \langle s_{i}\rangle$

H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}+\delta s_{i})(m_{j}+\delta s_{j})-h\sum _ {i}s_{i}

hvor spinudsving er angivet med . ${\displaystyle \delta s_{i}\equiv s_{i}-m_{i))$

Ved at udvide højre side kan man få et udtryk, der kun afhænger af spindets middelværdi og ikke afhænger af spin-konfigurationen. Dette udtryk er trivielt, det påvirker ikke systemets statistiske egenskaber. Det næste led indeholder produktet af gennemsnitsværdien af spin og udsving. Endelig indeholder det sidste led produkter af udsving.

Middelfelttilnærmelsen består i at negligere dette udtryk af anden orden i fluktuationer. Disse fluktuationer vokser i lavdimensionelle systemer, så middelfeltteorien fungerer bedre for højdimensionelle systemer.

H\approx H^{MF}\equiv -J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}m_{j}+m_{i}\delta s_{j}+m_{ j}\delta s_{i})-h\sum _{i}s_{i}

Vilkårene kan omarrangeres igen. Derudover bør den gennemsnitlige værdi af hvert af spins ikke afhænge af webstedet, da Ising-systemet er translationelt invariant. Derfor

H^{MF}=-J\sum _{\langle i,j\rangle }\left(m^{2}+2m(s_{i}-m)\right)-h\sum _{ i}s_{i}.

Neighbor summation kan omskrives som , hvor er de nærmeste naboer , og faktoren 1/2 forhindrer, at den samme term tages i betragtning to gange, da to spins er involveret i dannelsen af hver obligation. Forenkling giver det endelige resultat ${\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j\in nn(i)))$ $nn(i)$ $jeg$

H^{MF}={\frac {Jm^{2}Nz}{2}}-\underbrace {(h+mJz)} _{h^{\mathrm {eff} }}\sum _{ i}s_{i}

hvor er koordinationsnummeret . På dette tidspunkt er Ising Hamiltonian opdelt i summen af en-partikel Hamiltonian med effektivt middelfelt og middelfeltet på grund af tilstødende spins. Det er værd at bemærke, at dette gennemsnitlige felt afhænger direkte af antallet af nærmeste naboer og derfor af systemets dimension (for eksempel for et hyperkubisk gitter af dimension , ). $z$ $h^{\mathrm {eff} }=h+Jzm$ $d$ $z=2d$

Denne Hamiltonian erstattes med fordelingsfunktionen , og det effektive endimensionelle problem løses, opnås

Z=e^{-\beta Jm^{2}Nz/2}\left[2\cosh \left({\frac {h+mJz}{k_{B}T}}\right)\right ]^{N}

hvor er antallet af gitterknuder. Dette er et lukket og præcist udtryk for systemets fordelingsfunktion. Fra det kan du få gratis energi og finde ud af de kritiske indekser. Især kan man opnå magnetiseringen m som funktion af . $N$ $h^{\mathrm {eff} }$

Således opnås to ligninger, der specificerer forholdet mellem m , hvilket gør det muligt for os at bestemme m afhængig af temperatur. Konsekvensen af dette er følgende: $m$ $h^{\mathrm {eff} }$

for temperaturer over en vis værdi er den eneste løsning . Systemet er paramagnetisk . $T_{c}$ $m=0$
for der er to løsninger, der ikke er nul: . Systemet er en ferromagnet . ${\displaystyle T<T_{c))$ ${\displaystyle m=\pm m_{0))$

$T_{c}$ findes fra forholdet :. Dette viser, at middelfeltteorien kan beskrive faseovergangen til den ferromagnetiske tilstand. ${\displaystyle T_{c}={\frac {Jz}{k_{B))))$

Anvendelse til andre systemer

På samme måde kan middelfeltteori anvendes på andre Hamiltonianere:

Når man studerer faseovergangen metal-superleder. I dette tilfælde er analogen til magnetisering det superledende mellemrum . $\Delta$
For det flydende krystal molekylære felt , som opstår, når direktørfeltets Laplacian er ikke-nul.
At bestemme den optimale pakning af aminosyresidekæder for en given tertiær struktur ved forudsigelse af strukturen af proteiner.

Generalisering for tidsafhængige middelværdifelter

I middelfeltteorien vises det for en enkelt knude som en skalar eller vektor, men afhænger ikke af tid. Dette er dog ikke nødvendigt: I varianten af teorien, som kaldes den dynamiske middelfeltteori, afhænger middelfeltet af tid. For eksempel kan dynamisk teori anvendes på Hubbard-modellen ved at studere metal- isolatoren Mott-overgangen .

Noter

↑ Kadanoff, LP More is the Same; Phase Transitions and Mean Field Theories // Journal of Statistical Physics : journal. - 2009. - Bd. 137 , nr. 5-6 . - s. 777-797 . - doi : 10.1007/s10955-009-9814-1 . - . - arXiv : 0906.0653 .
↑ Weiss, Pierre . L'hypothèse du champ moléculaire et la propriété ferromagnétique (fransk) // J. Phys. Theor. Appl. :magasin. - 1907. - Bd. 6 , nr . 1 . - S. 661-690 .
↑ Boudec, JYL; McDonald, D.; Mundinger, J. Et generisk middelfeltkonvergensresultat for systemer af interagerende objekter // Fjerde internationale konference om kvantitativ evaluering af systemer (QEST 2007 ) . - 2007. - S. 3. - ISBN 0-7695-2883-X . - doi : 10.1109/QEST.2007.8 .
↑ Baccelli, F.; Karpelevich, F.I.; Kelbert, M.Y.; Puhalskii, A.A.; Rybko, A.N.; Suhov, YM En middelfeltgrænse for en klasse af kønetværk // Journal of Statistical Physics : journal. - 1992. - Bd. 66 , nr. 3-4 . — S. 803 . - doi : 10.1007/BF01055703 . - .
↑ Lasry, JM; Lions, PLMean field games (neopr.) // Japanese Journal of Mathematics. - 2007. - T. 2 . - S. 229 . - doi : 10.1007/s11537-007-0657-8 .
↑ Chaikin, PM; Lubensky, TC Principper for kondenseret stofs fysik (neopr.) . — 4. tryk. - Cambridge: Cambridge University Press , 2007. - ISBN 978-0-521-79450-3 .
↑ H.E. Stanley. Middelfeltteori for magnetiske faseovergange // Introduktion til faseovergange og kritiske fænomener (engelsk) . - Oxford University Press , 1971. - ISBN 0-19-505316-8 .